专题05 因式分解（考点串讲+七大类型）-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（苏科版）

专题05因式分解 一、因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注意： （1） 因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 1.公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 注意： （1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2.提公因式法 定义：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 注意： （1） 提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 . （2） 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3） 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3.公式法——平方差公式 定义：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 注意： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4.公式法——完全平方公式 定义：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式. 注意： （1） 逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 5.因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 6.因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止 二、方法拓展 1.因式分解求参 已知，求的值. 方法：变形为 因式分解： 利用非负性求解即可 2.十字相乘法 例： 分析： 解：原式 方法： 1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角； 2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项； 4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果 3.分组分解法 例： ＝ ＝ ＝ 方法：1.将原式的项适当分组；2.对每一组进行处理（提或代）3.将经过处理后的每一组当作一项，再采用（提或代）进行分解。 4.因式分解的几何应用 2m2+5mn+2n2可以因式分解为 方法：与前面类型几何类似。用割补的方式把图形分成几份 ，用等面积法两种方法表示，构造等式。 5.因式分解的新定义 在基础定义的时候，我们只需学会模仿，无需理解题意；如上题。 如果遇到答题最后一题的话，需要理解题意，举一反三。 【专题过关】 类型一、判断因式分解 【解惑】 （2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）分解因式：______． 【融会贯通】 1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(    ) A． B． C． D． 3．（2021春·宁夏银川·八年级校考期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2021春·重庆南岸·八年级校联考期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）因式分解： _____. 6．（2022秋·山东