专题12 条件概率及全概率公式-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题12 条件概率及全概率公式 1.条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 2.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 3.贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 考点一 相互独立事件 1.独立事件的判断 2.相互独立事件概率的计算 考点二 条件概率 1.定义法 2.缩小样本空间法 考点三 全概率公式 考点四 贝叶斯公式 考点一 相互独立事件 1.独立事件的判断 例1．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是4”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．A与互斥 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BCD 【分析】A选项可以根据互斥的定义判断，BC选项通过已知条件计算即可，D选项可以通过判断是否成立. 【详解】A选项，两次投掷的点数不同，仍有可能点数之和为4， 于是A与可以同时发生，并不互斥， 故A选项错误； 选项B，基本事件总数为， 满足条件的有共3种情况， 所以， 故B正确， 两次都不出现奇数点的事件记为， 依题意， 于是， 故C选项正确； D选项，，两次投掷的点数相同，显然是6种情况， 于是，意为两次投出的点数均为偶数， 显然只有3种情况， 于是，符合独立事件的定义， 故D选项正确， 故选：BCD. 例2．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）（多选）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（    ） A．与不互斥且相互独立 B．与互斥且不相互独立 C．与互斥且不相互独立 D．与不互斥且相互独立 【答案】ABD 【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可. 【详解】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立； 第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A正确； 对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； 第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B正确； 对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； 若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误； 对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相互独立； 若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故D正确. 故选：ABD. 例3．（2022秋·广东梅州·高二校联考阶段练习）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下股子朝上面的点数.用表示红色股子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“为奇数”，事件“”，事件“”，则下列结论不正确的是（    ） A． B．A与互斥 C．与独立 D．A与独立 【答案】D 【分析】A选项，利用古典概型求概率公式得到，从而得到；由得到B正确；求出，判断出与独立，由得到D错误. 【详解】由题意得：当一奇一偶时，为奇数， 若为奇数，为偶数，有种情况，同理若为偶数，为奇数，有种情况，则共有种情况 则， ，故，A选项正确； 因为当一奇一偶时，为奇数，故，同理当时，一定是偶数， 故，互斥，B选项正确； “”包含或6，而可能取值为6种，故共有种情况，故， 而事件包含两种情况，即，故， 由，得与独立，C正确； 因为，故A与B不独立，D错误. 故选：D 例4．（2021春·陕西咸阳·高二统考期中）下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（    ） A．甲､乙两运动员各射击一次，事件“甲射中10环”，事件“乙射中9环” B．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事件“从甲组