8.6 空间直线、平面的垂直（十二大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

8．6空间直线、平面的垂直 【题型归纳目录】 题型一：证明两直线垂直 题型二：求异面直线所成的角 题型三：线面垂直的概念与定理的理解 题型四：直线与平面垂直的判定 题型五：直线与平面所成角 题型六：直线与平面垂直的性质定理的应用 题型七：空间中的距离问题 题型八：面面垂直的概念与定理的理解 题型九：面面垂直判定定理的应用 题型十：求二面角 题型十一：平面与平面垂直的性质定理的应用 题型十二：线面、面面垂直的的综合应用 【知识点梳理】 知识点一：异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线，，则与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角的取值范围：． （3）如果两条异面直线，所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作． 知识点二：直线与直线垂直的定义 两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 知识点诠释： 空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足． 知识点三：直线与平面垂直的定义与判定 1、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 知识点诠释： （1）定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直． （2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式． （3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：． （4）在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题． 命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直． 命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 2、直线和平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 知识点诠释： （1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 知识点四：直线与平面所成的角 （1）如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是的角，于是，直线与平面所成的角的范围是． 知识点五：直线与平面垂直的性质 1、基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线． 符号语言： 图形语言： 2、性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 符号语言： 图形语言： 知识点六：距离 （1）直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离． （2）平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离． 知识点七：二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．图中的二面角可记作：二面角或或． （2）二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直与直线的射线，，则射线和构成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 知识点八：平面与平面垂直的定义与判定 1、平面与平面垂直定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图： 2、平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．