第6讲 空间直线、平面的垂直-2022-2023学年高一数学同步题型方法总结精品讲义（人教A版2019必修第二册）

学生版 架子最大的人 ———天子换来不上船,自称臣是酒中仙。（《饮中八仙歌》唐·杜甫） 立体几何专题 第6讲 空间直线、平面的垂直 思维导图-----知识梳理 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 考点一 直线与平面垂直的定义的理解 思维导图-----方法梳理 一、直线与平面垂直的定义 1、文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 2、符号语言：l⊥α 3、有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 4、图形语言： 5、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6、点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点到垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做叫做这个点到该平面的距离。 【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.下列说法正确的有________(填序号)． ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直； ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直． 例2.下面四个命题： ①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条； ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条； ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个； ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个． 其中正确的是( ) A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( ) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 2.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边． 能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)． 考点二 线面垂直判定定理的应用 思维导图-----方法梳理 直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 3、图形语言： 5、作用：证明线面垂直 题型1 线面垂直的判别 例1.如果直线与平面满足，，，，那么必有（ ）围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 A.且 B.且 C.且 D.和 例2.设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A.若，，则 B.若，，则 C.若，，，则 D.若，，则 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是(　　) A．b⊥β B．b∥β C．b⊂β D．b⊂β或b∥β 2.下列命题 ①⇒a⊥b；　　　 ②⇒b⊥α； ③⇒a⊥b; ④⇒a⊥α； ⑤⇒b⊥α； ⑥⇒b∥α． 其中正确命题的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3.如图已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为( ) 1. 1. A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 线面垂直的证明 思维导图-----方法梳理 【方法小结】利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： （1）在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； （2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线； （3）根据判定定理得出结论。 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心． 求证：B1O⊥平面PAC． 例2.如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC． 1. 例3.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC． 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.如图，在四面体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝.求证：BD⊥平面