猜题20 空间向量与立体几何（拓展）-备战2023年高考数学题型猜想预测卷（上海专用）

猜题20 空间向量与立体几何（拓展） 一、解答题 1．如图，在斜三棱柱中，，，侧面为菱形，且，点D为棱的中点，，平面平面．设平面与平面ABC的交线为l． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，分别是的中点，平面，，且． (1)证明：平面． (2)求四棱锥的体积． 3．如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是棱长为2的菱形，平面 平面，是的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 4．如图所示，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，．平面平面，为的中点，，，E，F，G分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的正切值． 5．如图，在四棱锥中，为棱上一点，，四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 6．如图所示的多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥拼接而成的，四边形为直角梯形，，，，，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值. 7．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点. (1)证明：平面平面ABCD； (2)若，，求二面角的正弦值. 8．如图，已知矩形是圆柱的轴截面，是的中点，直线与下底面所成角的正切值为，矩形的面积为12，为圆柱的一条母线（不与重合）． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求M到平面的距离． 9．如图，球O是正三棱锥和的外接球，M为的外心，直线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为，E为PA上一点，且． (1)证明：； (2)求二面角的正弦值． 10．如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC，．现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点．证明： (1)； (2)PC⊥平面ABM． 11．如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且．现将沿翻折到，如图2． (1)证明：． (2)已知，求四棱锥的体积． 12．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，E为线段上一点． (1)当∥平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 13．如图，在四棱柱中，已知底面是菱形，是侧棱上一点. (1)若，证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值. 14．如图，在三棱台ABC－DEF中，平面DEBA⊥平面ABC，平面DFCA⊥平面ABC，AB：BE：DE=4：5：1. (1)求证：AD⊥BC； (2)若△ABC是等边三角形，试问：棱BE上是否存在一点H，使得二面角H－AC－B的平面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．如图，点C在直径为的半圆O上，垂直于半圆O所在的平面，平面．且． (1)证明：平面平面 (2)若，，异面直线与所成的角是，求三棱锥的外接球的表面积 16．正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点. (1)求四面体的体积； (2)是否存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为？若存在，请描述点的位置；若不存在，请说明理由. 17．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为. (1)证明∥平面BCM (2)已知，为上的点，若与平面所成角的正弦值为是，求线段的长. (3)在（2）的条件下，求二面角的正弦值. 18．如图，四面体的棱平面，． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成锐二面角的正切值为，线段与平面相交，求平面与平面所成锐二面角的正切值． 19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点. (1)求证：直线平面SAC； (2)求二面角的余弦值； (3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由. 20．棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置． 21．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，且点分别是棱的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 22．如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． (1)证明：； (2)若二面角的余弦值为，求三棱柱的体积． 23．某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算