专题11 排列组合常用方法-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题11 排列组合常用方法 考点一 分类和分步问题 考点二 捆绑法以及插空法 考点三 倍缩法 考点四 隔板法 1.小球问题 2.整数解问题 3.二项式定理项数问题 考点五 特殊元素问题 考点六 染色问题 考点七 平均分组问题 考点八 部分平均分组问题 考点一 分类和分步问题 例1．（江苏省南京市秦淮中学2023届高三下学期检测一数学试题）过氧化氢（）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化和直接合成目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由，及，，五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________. 【答案】18 【分析】由分步乘法计数，再分类加法计数即可求. 【详解】过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子，共4个原子. 构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种，取法共有（种）； 构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种，取法共有（种）. 因此构成的过氧化氢分子的种数最多为. 故答案为：18. 例2．（上海市晋元高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）设有4位志愿者随机选择到四个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志愿者，则四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是__________.（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】先根据分步乘法原理得4位志愿者到核酸点位的可能性和四个核酸检测点都有志愿者的情况，再根据古典概型公式求解即可. 【详解】由题知，4位志愿者到核酸点位的可能性共有种， 其中四个核酸检测点都有志愿者到位的共有种， 所以四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是. 故答案为：. 例3．（上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短路径有___________种. 【答案】24 【分析】根据已知，要想避开C、D点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案. 【详解】 如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可. 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为； 第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为； 第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. 根据分步计数原理可得，最短路径有种. 故答案为：24. 例4．（湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题）设集合，则集合S的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由每个，在中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】对每个，在中的从属关系有以下101种： （1）， （2）， （3）， … （101）． 由分步乘法计数原理，集合S中共个元素． 故选：D 例5．（河北省石家庄二中教育集团2022-2023学年高二上学期期末四校联考数学试题）2023年元旦假期，小明同学外出去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，需从9个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个．已知这9个盲盒中，其中3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另外6个盲盒中，各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明获奖的情形为（    ）种 A．84 B．42 C．41 D．35 【答案】B 【分析】对抽到钢笔的情形分种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【详解】解：依题意小明抽到支钢笔，则抽到个不同的小饰品，有种； 小明抽到支钢笔，则抽到个不同的小饰品，有种； 小明抽到支钢笔，则只有种； 小明抽到支钢笔，则抽到个不同的小饰品，由种； 综上可得小明获奖的情形有种. 故选：B 考点二 捆绑法以及插空法 例6．（广东省惠州市第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题）甲､乙､丙､丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且甲､乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】30 【分析】利用间接法：先把学生安排出去，再排除甲､乙两名同学安排到同1个小区的情况，结合捆绑法运算求解. 【详解】根据题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有种安排方法， 若甲､乙两名同学安排到同1个小区，共有种安排方法， 所以共有种安排方法. 故答案为：30. 例7．（北京市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有 __种．（用数字作答） 【答