专题09 空间直线、平面的垂直-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题09空间直线、平面的垂直 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：求异面直线所成的角 考点二：直线与直线垂直的证明 考点三：异面直线所成角的综合问题 考点四：线面垂直概念的理解 考点五：求直线与平面所成的角 考点六：直线与平面垂直的判定定理的应用 考点七：线面垂直有关性质的理解 考点八：空间中距离问题 考点九：直线与平面垂直性质定理的应用 考点十：二面角的概念及大小的计算 考点十一：平面与平面垂直的证明 考点十二：平面与平面垂直条件的探求 考点十三: 垂直关系的相互转化 考点十四：平面与平面垂直的性质及应用 考点十五：空间垂直关系的综合应用 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 二、直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 三、直线与平面垂直的定义 1．直线与平面垂直的定义及画法 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 五、直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 六、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 图形语言 七、二面角的概念 二面角 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 4．二面角的平面角： (1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角． 八、平面与平面垂直的定义和判定 1．平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β. (2)画法： 2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 符号语言：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 九、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 【方法技巧】 1.异面直线所成的角的求法 (1)作：利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段，平行四边形的对边等平移，使两异面直线使之相交于一个点，并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角． (2)求：求出三角形的边，利用余弦定理求出角的余弦，进而求出角；如果是特殊三角形，如等边三角形、直角三角形等，则利用相应三角形的性质求角． 2.证明两异面直线垂直的步骤 (1)作出两异面直线所成的角． (2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明