第二章 命题点3 分式方程的解法 （精讲册）-【一战成名】2022福建中考数学考前新方案中考总复习（教用版）

一战成名·福建数学 命题点３　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 分式方程的解法 中 考 要 求 能解可化为一元一次方程的分式方程． 　　要点归纳 １．分式方程的概念：分母中含有　未知数　的方程叫作分式方程． ２．分式方程的解法（基本思想：转化） 基本思路：分式方程 → 转化 整式方程 求解 → 验根 得解 解法步骤及注意事项 例１：解分式方程：２ｘ－５ｘ－２＝ ３ ｘ． 【最简公分母】　ｘ（ｘ－２）　 解：方程两边都乘以　ｘ（ｘ－２）　，得 　ｘ（２ｘ－５）＝３（ｘ－２）　， 化简得　ｘ２－４ｘ＋３＝０　， 解得　ｘ１＝１，ｘ２＝３　， 检验：　当ｘ１＝１或ｘ２＝３时，ｘ（ｘ－２）≠０，　 　∴ｘ１＝１，ｘ２＝３是原方程的根　． 例２：解分式方程：ｘｘ－２－１＝ ８ ｘ２－４ ． 【最简公分母】　（ｘ＋２）（ｘ－２）　 解：方程两边都乘以　（ｘ＋２）（ｘ－２）　，得 　ｘ（ｘ＋２）－（ｘ２－４）＝８　， 解得　ｘ＝２　， 检验：　当ｘ＝２时，（ｘ＋２）（ｘ－２）＝０，　 　∴ｘ＝２是原方程的增根，原方程无解　． 注：分式方程为什么要验根呢？因为去分母后所得整式方程的解有可能使方程中的分母为０． 【核心归纳２】分式方程的增根与无解 （１）增根： ①含义：增根是去分母后的整式方程的解，同时也使得分式方程的分母等于　０　； ②解题方法：先将分式方程转化为整式方程，求出ｘ（含未知字母）；再令最简公分母为０，求出 ｘ的值；最后 代入即可求出未知字母的值． （２）无解的两种情况： ①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，所以分式方程无解； ②分式方程化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的增根，所以分式方程无解． 　　课堂小练 １．（人教八上Ｐ１５２练习改编）下列解分式方程 ｘｘ－２＋ ２ ２－ｘ＝０的过程中，从第　一　步开始出现错误． 第１题图 ２．（变式训练）用换元法解分式方程 ｘ ｘ２＋１ －ｘ ２＋１ ｘ ＋１＝０时，如果设 ｘ ｘ２＋１ ＝ｙ，那么原方程可以变形为整式方 程　ｙ２＋ｙ－１＝０　． ３．（变式训练）对于实数ａ，ｂ，定义一种新运算“”为：ａｂ＝ ２ ａ－ｂ２ ，这里等式右边是通常的实数运算．例如： １３＝ ２ １－３２ ＝－１４，则方程ｘ（－１）＝ ６ ｘ－１－１的解是　ｘ＝５　． ３２ 一战成名·福建数学 ４．（变式训练）若关于ｘ的方程２－ｘｘ－１＝ ｍｘ １－ｘ无解，则ｍ＝　－１或１　． ５．（人教八上Ｐ１５０思考改编）已知关于ｘ的分式方程 ２ｘ－１＋ ｍｘ （ｘ－１）（ｘ＋２）＝ １ ｘ＋２． （１）若方程的增根为ｘ＝１，求ｍ的值； （２）若方程有增根，求ｍ的值； （３）若方程无解，求ｍ的值． 解：方程两边同时乘以（ｘ－１）（ｘ＋２），去分母并整理得２ｘ＋４＋ｍｘ＝ｘ－１，移项合并得（ｍ＋１）ｘ＝－５， （１）∵ｘ＝１是分式方程的增根，∴１＋ｍ＝－５，解得ｍ＝－６； （２）∵原分式方程有增根，∴（ｘ－１）（ｘ＋２）＝０，解得ｘ＝１或ｘ＝－２， 当ｘ＝１时，ｍ＝－６；当ｘ＝－２时，ｍ＝１．５． 综上，ｍ的值为－６或１．５； （３）当ｍ＋１＝０时，该方程无解，此时ｍ＝－１； 当ｍ＋１≠０时，要使原方程无解，由（２）得ｍ＝－６或ｍ＝１．５， 综上，ｍ的值为－１或－６或１．５． 命题点４　分式方程的实际应用 （２０２０．８ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 中 考 要 求 １．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； ２．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理． 　　要点归纳 １．解题步骤 注：双检验———①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合实际问题． ２．常考类型及关系式 （１）工程问题 例１：（人教八上Ｐ１５２例）两个工程队共同参与一项筑路工程，①甲队单独施工１个月完成总工程的 １  ３，这时 ②增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快               ？ 审：工作总量看作“１”，工作总量＝工作效率