导数专项训练二：利用导数求函数的单调性-2022-2023学年高二下学期数学选修2-2

导数专题二：利用导数求函数的单调性 1、求下列函数的单调区间。 （1） (2) (3) f (x)＝x2e－x. （4）函数f(x)＝x＋2 （5）函数f(x)＝x2－5x＋2ln 2x 2、已知函数f(x)＝aln x－x－(a∈R)．求函数f(x)的单调区间． 3.讨论函数f(x)＝x3－aln x(a∈R)的单调性． 4、试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间． 5.求函数g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋(1－a)x＋2－a的单调区间． 6、已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性． 7.已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x， 讨论f(x)的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数专题二：利用导数求函数的单调性 1、求下列函数的单调区间。 （1） 解析：函数的定义域为D＝(0，＋∞)． ，f(x)在（0，1）上单调递减，（1，＋∞)上单调递增。 (2) 解析：， 函数在 上单调递减， (3) f (x)＝x2e－x. 函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)． ∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0， 由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，得下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x) ↘ f (0)＝0 ↗ f (2)＝ ↘ ∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)． （4）函数f(x)＝x＋2 解析：f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－. 令f′(x)＝0，得x＝0.当0<x<1时，f′(x)<0. 当x<0时，f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(0，1)． （5）已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln 2x，则f(x)的单调递增区间为________． 解析：f′(x)＝2x－5＋＝(x＞0)． 由f′(x)>0可得(2x－1)(x－2)>0， 所以x>2或0<x<， 即f(x)的单调递增区间为（0，），(2，＋∞)．单调递减区间是(，2)． 2、已知函数f(x)＝aln x－x－(a∈R)．求函数f(x)的单调区间． 解：由题知，f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－1＋＝， ①当a＋1>0，即a>－1时，在(0，1＋a)上f′(x)>0，在(1＋a，＋∞)上，f′(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间是(0，1＋a)，单调递减区间是(1＋a，＋∞)； ②当1＋a≤0，即a≤－1时，在(0，＋∞)上，f′(x)<0， 所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间． 3.讨论函数f(x)＝x3－aln x(a∈R)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝3x2－＝(x>0)， ①若a≤0时，f′(x)>0，此时函数在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0时，令f′(x)>0，可得x>，f′(x)<0，可得0<x< ， 所以函数在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增． 4、试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间． [解析]　函数f (x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝k－＝. 当k≤0时，kx－1＜0， ∴f ′(x)＜0，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 当k＞0时，由f ′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜； 由f ′(x)＞0，得＞0，解得x＞. ∴当k＞0时，f (x)的单调递减区间为(0,)， 单调递增区间为(,＋∞). 综上所述，当k≤0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 5.求函数g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋(1－a)x＋2－a的单调区间． 解：∵g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋(1－a)x＋2－a(x>0)， ∴g′(x)＝ln(x＋1)＋2－a. ∴当2－a≥0，即a≤2时，g′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立． 此时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． 当2－a<0，即a>2时，令g′(x)＝0，得x＝ea－2－1， 由g′(x)>0，得x>ea－2－1；由g′(x)<0，得0<x<ea－2－1. 此时，g(x)的单调递减区间为(0，ea－2－1)，单调递增区间为(ea－2－1，＋∞)． 综上所述，当a≤2时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间； 当a>2时，g(x)的单调递减区间为(0，ea－2－1)，单调递增区间为(ea－2－1，＋∞)． 6、已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性．