专题10 二项式系数的性质-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题10 二项式系数的性质 1.二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 2.系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 3.系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 考点一 二项式系数之和 考点二 系数之和问题 1.各项系数之和 2.奇（偶）系数项系数之和 3.系数绝对值之和 考点三 二项式系数性质的应用 1.二项式系数的最值 2.系数的最值 考点一 二项式系数之和 例1．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知，当时，其展开式中的系数为_________；记展开式中含x的奇次幂的项之和为，则=__________. 【答案】          【分析】空1：利用二项展开式分析运算；空2：根据题意令为奇数、求，再结合二项式系数的性质运算求解. 【详解】的二项展开式为， 空1：当时，令，则展开式中的系数为； 空2：令为奇数，则为奇数，则， 令，则， 由，可得. 故答案为：；. 例2．（2023·河北石家庄·统考一模）展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为_________．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据所有奇数项的二项式系数和为求出，再根据二项展开式的通项即可求出常数项. 【详解】由题意及二项式系数的性质可得，解得， 所以其展开式的通项为， 依题意令解得， 所以展开式中的常数项为， 故答案为： 例3．（2023春·上海闵行·高二校联考阶段练习）计算：__________. 【答案】 【分析】由二项式定理性质可知所有二项式系数和为，即可得出结果. 【详解】由题意可知， 当时，令，即可得. 故答案为： 例4．（2023·四川凉山·二模）已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是_______________． 【答案】10 【分析】利用二项式系数和和二项展开式的通项公式即可. 【详解】因为二项式系数和为32， ； 当时， 故答案为：10 例5．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______． 【答案】 【分析】根据二项式系数和公式求，再由二项展开式的通项公式求常数项即可. 【详解】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，得，即． 所以． 令，得， 所以二项式的展开式中常数项为． 故答案为： 考点二 系数之和问题 1.各项系数之和 例6．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）若，求______． 【答案】 【分析】赋值法即可. 【详解】令得，， 故答案为： 例7．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）已知，则___.（结果用数字作答） 【答案】81 【分析】令，求二项展开式各项系数和. 【详解】， 当时，有，则. 故答案为：81 例8．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）若，则___________. 【答案】0 【分析】先令，求出，再令，得，进一步计算得出结果. 【详解】令，得. 令，得， 则. 故答案为：0. 例9．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若，则_________. 【答案】34 【分析】令，得，令，得，即可得到答案. 【详解】依题意， 令，得， 令，得. 故. 故答案为：34 例10．（2023·贵州·校联考二模）的展开式的各项二项式系数之和为32，各项系数和为1，则展开式中的系数为_________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和可求出，令，由各项系数之和可求出，代入二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题可知， 各个二项式系数之和为，解得， 令，可得各项系数之和为，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 2.奇（偶）系数项系数之和 例11．（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知，则_____，______．（用数字作答） 【答案】     32     【分析】利用赋值法求得正确答案. 【详解】令，则． 令，则． 令，则， 则， 则． 故答案为：； 例12．（2023·江西赣州·统考一模）已知，则（    ） A．40 B．