第五章 第3讲 平面向量的数量积-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习

回高考一轮总复习·数学，RJA 第3讲 平面向量的数量积 课标要求」 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 3.会用向量的方法解决某些简单的平面儿何问题. 必备知识 夯实四基。 对应答案P405 知识梳理 3.平面向量数量积的运算律 1.平面向量数量积的有关概念 (1)a·b=b·a(交换律). (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b,O是 (2)a·b=A(a·b)=a·(ab)(结合律). 平面上的任意一点，作OA=a,OB=b,则∠AOB (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). =(0≤0≤x)叫做向量a与b的夹角 常用结论 (2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b,它 1.平面向量数量积运算的常用公式 们的夹角为0，我们把数量回 叫做 (1)(a+b)·(a-b)=a-b2: 向量a与b的数量积（或内积），记作a·b,即 (2)(a士b)2=a2士2a·b+b, a·b=☑ ,规定：零向量与任一向 2.有关向量夹角的两个结论 量的数量积为0，即0·a=0. (1)两向量a与b为锐角台a·b>0且a与b不 (3)投影向量 共线。 如图，在平面内任取一点O,作 (2)两向量a与b为钝角台a·b<0且a与b不 OM=a,ON=b,过点M作直 共线。 线ON的垂线，垂足为M,则 ()b M 诊断自测 ☒ 就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角 思考辨析 为0，则OM,与ea,0之间的关系为OM-|a 1.判断（在括号内打“√”或“×”） cos e. 1)两个向量的夹角的范围是[0，]( 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 (2)向量在另一个向量上的投影向量为数量，而 设向量a=(x1,y),b=(x,y2),0为向量a,b的 不是向量 夹角. (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、 (1)数量积：a·b=allblcos0=x1十y: 减、数乘运算的运算结果是向量. () (2)模：a=a·a=z+y (4)若a·b=a·c(a≠0)，则b=c. (3)夹角：cos0=ab匠+·V+ a·b 工x十y 教材衍化 2.(人A必修第二册P24T19改编)向量a,b满足 (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b=0台 a=√3，b=1,a-2b=1,则向量a,b的夹 x1x2十yy=0. 角是 () (5)a·b≤ab(当且仅当a∥b时等号成 立)台|xx十yy≤Vx十y·√十y A君 C.2 3 D. ®104 第五章平面向量，复数回 3.(人A必修第二册P24T21改编)已知|a=4, 边长为2，则AB,BC 1b=3,a·b=一12，则向量b在a方向上的投 A.2 B.-2 C.一 D.5 影向量为 ( 5.(应视向量夹角为锐角的秦件致误)已知平面内 A-aB-BC-bD.-等0 两个向量a=(2k,1),b=(1,)若a与b的夹 易错自纠 角为纯角，则实数k的取值范围是 4.(向量夹角的概冷不清政误)已知等边△ABC的 对应答素P405 提升能力 考点剖析⊙ 考点 数量积的计算（师生共研）】 例1门(1)(2022·山东济南· 感悟方法 二模)如图，△ABC是边长为 平面向量数量积的两种运算方法 3的等边三角形，D在线段 (1)基底法：当已知向量的模和夹角日时，可利 BC上且BD=2DC,E为线 用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量 段AD上一点，若△ABE与 积的有关计算问题： △ACD的面积相等，则BE·AC的值为( (2)坐标法：当平面图形易建系求出各，点坐标 A号 B-1 c D.-4 时，可利用坐标法求解 (2)《易经》是闸述天地 冬变式训练》 世间关于万象变化的古 1.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为 老经典，如图所示的是 《易经》中记载的几何图 3且a-1,b=3,则(2a+b)·b= 形一八卦图.图中正 H 2.(2023·四川雅安·二模)如图，在Rt△ABC中， 八边形代表八卦，中间 两直角边CA=3,CB=6,点E,F分别为斜边 的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图 AB的三等分点，则CE,C下 形代表八卦图，已知正八边形ABCDEFGH的 边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平 面内的一点，则PA·PB的最小值为 考点2 数量积的应用（多雏探究） 角度1平面向量的模 角度2夹角问题 [例2](1)(2023·山西晋城·三摸)已知向量a,b [例3】(1)(2022·新高考Ⅱ卷T4)已知a=(3, 满足a=(1,1),|b=2,(a一b)·a=1,则 4),b=(1,0),c=a十tb,若(a,c)=(b,c),则1=