4.3 第1课时 平方差公式（讲解课件）-【优翼·学练优】2022-2023学年八年级下册初二数学同步备课（北师大版）

4.3 公式法 第四章 因式分解 第1课时 平方差公式 优翼八下数学教学课件（BS） 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ a 米 b 米 b米 a 米 (a - b)米 情境引入 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 导入新课 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 用平方差公式进行因式分解 新课讲授 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：( )2-( )2的形式. （1）x2 + y2 （2）x2 - y2 （3）-x2 - y2 -(x2 + y2) y2 - x2 （4）-x2 + y2 （5）x2 - 25y2 (x + 5y)(x - 5y) （6）m2 - 1 (m + 1)(m - 1) 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1) 原式 = 2x 3 2x 2x 3 3 (2) 原式 a b 典例精析 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式继续分解. 当场编题，考考你！ ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 20232 － 20222 = (2mn)2 - ( 3xy)2 = (x + z)2 - (y + p)2 = 例2 分解因式： 解：(1) 原式＝( x2 )2 - ( y2 )2 ＝( x2 + y2 )( x2 - y2) 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解 ＝(x2 + y2)(x + y)(x - y). (2) 原式＝ab(a2 - 1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查 ＝ab(a + 1)(a - 1). 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 分解因式： (1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. 针对训练 ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 例3 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值. ∴ x - y ＝ -2②. 解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝ -2， x＋y ＝ 1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 例4 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4. 解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400. (2) 原式＝4(53.52－46.52) ＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7＝2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例5 求证：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2一定能被 8 整除． 即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除. 证明：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) =