专题4.2 平行四边形及其性质-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（浙教版）

专题4.2 平行四边形及其性质 1.掌握平行四边形的定义和性质； 2.掌握平行四边形性质的应用； 知识点01 利用平行四边形的性质求解 【知识点】 知识点、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心； 特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 【典型例题】 例1．在平行四边形中，的平分线把边分成长度是6和4的两部分，则平行四边形周长是（    ） A．32 B．28 C．16或14 D．32或28 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质得，，，再证，然后分两种情况，由、的长可求出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ，， ①当，时，， 平行四边形的周长为：． ②当，时，， 平行四边形的周长为：． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解答本题的关键． 例2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，，，则的长为___________． 【答案】5 【分析】根据平行四边形的性质以及角平分线的性质证明是等腰三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ． 平分， ， ， ． ， ， ， ． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及角平分线的性质，熟练运用平行四边形对边平行且相等的性质是解决本题的关键． 例3．如图，已知的对角线，交于点，过点且与，分别相交于点、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)5 【分析】（1）由平行四边形性质可证得，则可证得； （2）由平行四边形的对角线相互平分得到的长度，然后由勾股定理求得的长度，则． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）在平行四边形中， ∵， ∴， ∵，， 在中， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【即学即练】 1．如图，在中，过点作交延长线于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对角相等可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余．掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．如图，平行四边形的周长为36，、相交于点，交于，则的周长为________． 【答案】18 【分析】根据平行四边形性质得出，，，根据线段垂直平分线得出，求出，代入求出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． ， ． 平行四边形的周长为36， ． ． 的周长是：． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中． 3．已知：如图，在中，的平分线交于，的平分线交于，交于． (1)试说明：； (2)若将分成两部分，且，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的性质即可得出，是等腰三角形，得到，进而得到求解即可； （2）首先根据题意求出，然后根据平行四边形的周长公式求解即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ∴， ∴平行四边形的周长为； 所以平行四边形的周长为32． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 知识点02 利用平行四边形的性质证明 【典型例题】 例1．如图，点是的对角线上一点，连接，，设的面积为，的面积为，则与的大小关系（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可以得到两个三角形的高相等，再根据等底等高的两个三角形面积相等求出答案. 【详解】解：根据的性质，点和点到的距离相等，设为 故答案选： 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质，解题的关键在于理解等底等高的三角形的面