8.2 立体图形的直观图（三大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

8．2 立体图形的直观图 【题型归纳目录】 题型一：水平放置的平面图形直观图的画法 题型二：几何体的直观图画法 题型三：与直观图还原有关的计算问题 【知识点梳理】 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点诠释： 用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【典型例题】 题型一：水平放置的平面图形直观图的画法 【方法技巧与总结】（画水平放置的平面图形的直观图的注意事项） 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段． 例1．（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图. 【解析】在等腰梯形中，过D作于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 其中， 在平面内取点，过作直线，使，如图， 在直线上取点，使，过作线段，使， 在直线上取点，使， 连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形. 例2．（2023·高一课时练习）用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图. 【解析】在给定的正三角形中建立如图所示的平面直角坐标系，其中线段是正三角形的高，， 在平面内取点，过作直线，使，如图， 在直线上取点，使，过作线段，使， 连接，抹去辅助线得边长为2cm的正三角形的直观图，如图. 例3．（2023·高一课时练习）画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图． 【解析】(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示． (2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC. (3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图． 变式1．（2023春·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图. 【解析】（1） 画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取． 过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，， 则四边形的直观图即为四边形； （2） 画，轴，使，在轴上截取， 在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，． 则四边形的直观图即为四边形． 变式2．（2023·全国·高一专题练习）画出图中水平放置的四边形的直观图. 【解析】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示： 题型二：几何体的直观图画法 【方法技巧与总结】（画空间几何体的直观图的注意事项） （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 例4．（2023春·全国·高一专题练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图． ②作Az垂直于AB，