专题11 立体几何的综合问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题11 立体几何的综合问题 【典型例题】 例1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，，E为的中点，将沿翻折到的位置，其中平面，M为的中点，则在翻折过程中，有如下下列结论： ①恒有平面；②B与M两点间距离恒为定值；③三棱锥体积最大值为； ④存在某个位置，使得平面平面. 其中正确的结论个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 对于①：如图，取的中点，连接.则且. 又且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面.故①正确; 对于②：因为， 根据余弦定理，得，解得. 因为，所以.故②正确; 对于③：连接.因为为的中点， 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍. 设为到底面的距离，则三棱锥的体积， . 当平面⊥平面时，h达到最大值，所以取到最大值. 此时，， 所以 所以三棱锥的体积的最大值为.故③正确； 对于④：假设平面⊥平面，又平面∩平面=，， 所以⊥平面，所以， 则在△中，∠ =90°，，所以. 又所以故三点共线， 所以，所以平面，与题干条件平面矛盾，故④不正确. 故选：C. 例2．（2023春·全国·高一专题练习）在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设方亭的高为，因为，方亭的体积为， 所以，解得， 如图， 过作，垂足为， 连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形， 且，，则， ， 因为侧面为等腰梯形， 所以， 所以侧面的面积为． 故选: A． 例3．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，，E为棱的中点，则（    ） A．面 B． C．平面截该长方体所得截面面积为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】对于选项A：连接， 为长方体，，，∴四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 面，故选项A正确； 对于选项B： ， ， 平面， 在平面上的投影为， ，故选项B正确； 对于选项C： 根据长方体对称性易知平面截该长方体所得截面面积为， ，， ，，， ， 由，可得， 则，故C错误； 对于选项D： 三棱锥的底面积，高为， 则三棱锥的体积为，故D正确； 故选：ABD. 例4．（多选题）（2023春·全国·高一专题练习）在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（    ） A．与共面 B．三棱锥的体积为 C．的最小值为 D．当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为 【答案】ACD 【解析】对于A，如图1，在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确； 对于B，由，因为到平面的距离为定值2，且的面积为1，所以三棱锥的体积为，所以B错误； 对于C，如图2，展开平面，使点共面，过作，交与 点，交与点，则此时最小，易求的最小值为，则C正确； 对于D，如图3，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过三点的正四棱柱的截面为，由，则是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为，所以D正确. 故选:ACD. 例5．（2023春·全国·高一专题练习）已知正三棱柱的所有棱长为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为__________． 【答案】 【解析】设的中点为，易知，又因为面面，且面面，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，为半径的一段圆弧．设该圆弧与的交点分别为，球与侧面的交线如图所示，则， 易知， 所以该圆弧所对的圆心角为， 故所求弧长为， 故答案为：. 例6．（2023春·全国·高一专题练习）一名学生参加学校社团活动，利用3D技术打印一个几何模型该模型由一个几何体及其外接球组成，几何体由一个内角都是120°的六边形绕边旋转一周得到且满足，，则球与几何体的体积之比为______. 【答案】 【解析】方法一：设，，连接， 因为，且每一个内角都为， 所以， 所以， 即，所以四边形是长方形， ， ∴， ∴，， ， ； 方法二：设，， ∴，旋转形成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥， ， ，∴， ∵几何体存在外接球，设中点为，∴为球心， 由， ∴，，∴， ， ∴. 例7．（2023春·全国·高一专题练习）已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F． (1)求的长； (2)求这两个棱锥的公共部分的体积． 【解析】（1）连接，如图所示： 因为平面，平面，所以，又， 所以四边形是矩形，所以，且， 又分别为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 又对角线，所以为的中点， 由题意可知：在中，， 所以. （2）连接，交于点，过点作于， 由题意知，故，又，， 平面，