专题01 空间向量及其运算和空间位置关系（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题01 空间向量及其运算和空间位置关系 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量：在空间，具有大小和方向的量 2．相等向量：方向相同且模相等的向量 3．相反向量：方向相反且模相等的向量 4．共线向量(或平行向量)：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 5．共面向量：平行于同一个平面的向量 知识点2 空间向量的有关定理 1．共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在λ∈R，使a＝λb 2．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 3．空间向量基本定理： 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc 4．空间向量基本定理的推论： 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1 知识点3 空间向量的数量积及坐标运算 1．空间向量的数量积 （1）a·b＝|a||b|cos_〈a，b〉 （2）a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； （3）设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) （1）空间向量的向量和：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) （2）空间向量的向量差：a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) （3）空间向量的数量积：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 （4）空间向量的共线：a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) （5）空间向量的垂直：a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 （6）空间向量的夹角公式：cos 〈a，b〉＝ 知识点4 直线的方向向量与平面的法向量 1．直线的方向向量：与直线平行或在这条直线上的有向线段所表示的非零向量，一条直线的方向向量有无数个 2．平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 知识点 5 空间中直线、平面位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 u1，u2分别是直线l1， l2的方向向量 l1∥l2 ⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 l1⊥l2 ⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 u是直线l的方向向量， n是平面α的法向量 l∥α ⇔u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α ⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn n1，n2分别是平面α， β的法向量 α∥β ⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 知识点6 确定平面的法向量的方法 （1）直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． （2）待定系数法：取平面内的两条相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)， 由解方程组求得． 考点1 空间向量的线性运算 【例1】如图：在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　 ) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 【总结】用已知向量表示某一向量的解题策略 (1)用已知向量来表示某一未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用向量加法、减法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 【变式1-1】已知在四棱柱ABCD­A′B′C′D′中，四边形ABCD为平行四边形，若＝3a＋2b＋c，则abc＝(　　 ) A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①= ；②＋. ． 【变式1-3】已知a＝(2,1，－3)，b＝(0，－3,2)，c＝(－2,1,2)，则a·(b＋c)等于(　　) A．18 B．－18 C．3 D．－3 【变式1-4】已知空间向量a＝(1,0,1)，b＝(1,1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 考点2 用基向量表示指定向量 【例2】如图，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中