预测10 二次函数与特殊三角形、四边形问题-【临门一脚】2023年中考数学三轮冲刺过关（福建专用）

【临门一脚】预测10 二次函数与特殊三角形、四边形问题 一、【中考预测】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 出题概率：☆☆☆ 考向大胆猜：压轴题 二、【知识回顾】 1．判定△ABD的形状，并说明理由。（运用勾股定理或两点间的距离公式，求出该三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状） 2．在对称轴x=1上取一点P，使△PBC是等腰三角形？（设出动点P的坐标后，分三种情况，分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，列方程求解即可） 3．如图：若△ODF为等腰三角形，求出点P的坐标。（用勾股定理求平面直角坐标系内的两点间的距离，再分类讨论等腰三角形各边的情况） 4．△ABD与△BOD是否相似？说明理由。（运用勾股定理分别表示各边长，在利用相似三角形的判定进行判断，注意分类讨论） 5．若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出点E的坐标。（利用对角线互相平分，两条对角线的中点坐标重合，列出方程即可） 三、【历年真题】 【真题1】（2019·福建·统考中考真题）已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点. (1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式； (2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形. ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线. 【答案】(1) y=a(x－2)2, c=4a;(2) ①顶点A(1,0)，y= x2－2x+1,②见解析. 【分析】（1）根据抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解； （2）①y＝kx＋1−k＝k（x−1）＋1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x−2）2，则c＝4a； (2) y=kx+1－k= k(x－1)+1过定点(1,1), 且当k＝0时，直线l变为y=1平行x轴,与y轴的交点为(0,1) 又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点 ①c=1，顶点A(1,0)   抛物线的解析式: y= x2－2x+1. ②     x2－(2+k)x+k＝0, x＝(2+k±) xD＝xB＝(2+k－), yD=－1； 则D yC＝(2+k2+k,   C，A(1,0) ∴直线AD表达式中的k值为：k AD==， 直线AC表达式中的k值为：k AC= ∴k AD= k AC, 点A、C、D三点共线. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大． 【真题2】（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当 时，四边形面积最大，最大值为 (3)点的坐标为 ： ， ， ， 【分析】（1）根据对称轴可得，将代入，待定系数法求解析式可得抛物线的解析式； （2）设，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得四边形的面积，利用配方法可得其最大值； （3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，根据列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， ∴抛物线解析式为， 将点代入得 解得：， 抛物线的解析式；； （2）如图2，设 平分，， ， 是等腰直角三角形， ， ,， 设直线的解析式为， ， 解得：， 则直线的解析式为：， 过作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时，有最大值是； （3）如图3，过作轴，交轴于，交于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 则， 解得： 或， ∴的坐标为 或 ； 如图4，过作轴于，过作于，连接PF． 同理得， ， 则， 解得