预测09 二次函数与线段，面积，角度问题-【临门一脚】2023年中考数学三轮冲刺过关（福建专用）

【临门一脚】预测09 二次函数与线段、面积、角度问题 一、【中考预测】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 出题概率：☆☆☆☆☆ 考向大胆猜：压轴题 二、【知识回顾】 1．二次函数与线段的和差 如图：x轴上取一点P，使PB+PA最短？（将军饮马模型） 2．二次函数与周长 如图：y轴上取一点P，使△PAD的周长最小？（AD是定长线段，因此只要PA+PD最短即可） 3．二次函数与距离 如图：在直线BD下方的抛物线上，取一点P，使点P到直线BD的距离最大？（BD是定长线段，P到BD距离最大，即△BDP面积最大） 4．二次函数与面积 （1）如图：在直线BD下方的抛物线上取一点P，使的面积最大？（过点P作y轴的平行线，将△PBD分割成2个同底的三角形，则：(y上动-y下动)(x右定-x左定)【铅锤法】） （2）如图：在直线BD下方的抛物线上取一点P，使四边形DOBP的面积最大？（四边形分割两个三角形，S△BOD定值，求S△PBD最大即可） （3）如图：在抛物线上取一点P，使S△PBC=2S△ABD？（设出动点P的坐标，利用铅锤法表示出△PBC面积即可） 5.二次函数与角度 如图：若点P在抛物线上，且∠PBD=90°，求点P的坐标。（利用直线BD的解析式及勾股定理或全等原理，数形结合，列出有关的方程，即可求出点P的坐标.） 三、【历年真题】 【真题1】（2022·福建·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（3，4） (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得 ，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得 ，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据 ，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 【真题2】（2021·福建·统考中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线过点，求的最小值； （2）已知点中恰有两点在抛物线上． ①求抛物线的解析式； ②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等． 【答案】（1）-1；（2）①；②见解析 【分析】（1）先求得c=1，根据抛物线与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可； （2）①根据抛物线与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可 【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点， 以方程有两个相等的实数根， 所以，即． （1）因为抛物线过点，所以， 所以，即． 所以， 当时，取到最小值． （2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点， 所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧． 又点中恰有两点在抛物线的图象上， 所以只能是在抛物线的图象上， 由对称性可得抛物线的对称轴为，所以， 即，因为，所以． 又点在抛物线的图象上，所以， 故抛物线的解析式为． ②由题意设，则． 记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F， 即， 因为，所以． 又，所以，所以． 所以，所以，即． 所以， 即．① 把代入，得， 解得， 所以．