预测12 动点最值问题-【临门一脚】2023年中考数学三轮冲刺过关（福建专用）

【临门一脚】预测12 动点最值问题 一、【中考预测】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 出题概率：☆☆☆☆ 考向大胆猜：选填压轴 二、【知识回顾】 （1）将军饮马模型： ①一动两定 ②一定两动 ③两定两动 （2）隐圆最值模型： ①四点共圆： ②动点到定点等定长： ③直角所对的是直径： ④定弦对定角： 三、【历年真题】 【真题1】（2020·福建·校联考零模）如图，等腰中，于，，为内一点，当最短时，在直线上有一点，连接．的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由为内一点，当最短时，得M为△ABC的费马点，以AC为边向外作正三角形ACF，据费马点的特征，直线BM和直线BF为同一条直线，由题意容易求得∠MBC=30°，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，显然；再过点C作BG的垂线，垂足为，由垂线段最短，知；因为易得BC=，又∠GBC=60°就容易求得就是的最小值． 【详解】解：如下图 以AC为边向外作正三角形ACF，以BF为边，B为顶点向∠MBC的外侧作∠FBG，使∠FBG=30°，过E作BG的垂线，垂足为H，过点C作BG的垂线，垂足为 由∠FBG=30°，HE⊥BG知HE= ∴ 下面计算 ∵AB=AC=2且 ∴； ∵为内一点，当最短时 ∴M为△ABC的费马点 由费马点的特点知BM与BF为同一条直线 ∵正三角形ACF ∴∠CAF=60° 又 ∴∠BAF=150° 又AB=AC=AF ∴∠ABF=15° 又∠ABC=45° ∴∠FBC=30° ∴∠GBC=60° 在RT△中 ∴的最小值为． 故选：D． 【点睛】此题是几何最值问题——费马点和胡不归的综合．确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决；计算最短值时要熟悉费马点的性质． 【真题2】（2022秋·福建泉州·九年级泉州五中校考阶段练习）如图，△ABC中，，AB+BC=8，tanA=，点O，D分别是边AB，AC上的动点，则OC+OD的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：如图，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点H，则，当点，O，D三点共线，并且时，OC+OD的值最小，即的长．∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，解得，故选D． 【真题3】（2017秋·福建莆田·九年级统考期中）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为______． 【答案】7 【分析】连接OA、OB、OC，作CH⊥AB，用勾股定理算得EF=OE+OF=7，CH=7，在直角三角形CHB中求出BC即可得到答案． 【详解】解：如图， 连接OA、OB、OC，作CH⊥AB于H． 根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3， ∴OE===3，OF=， ∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7， 在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7， 则PA+PC的最小值为7． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了圆的垂径定理，圆中最短路径问题以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【真题4】（2021秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案