专题10 空间角、距离的计算（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题10 空间角、距离的计算 （1） 点到平面的距离 定义：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. （2） 直线与平面间的距离 定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这这条直线和这个平面的距离. （三）平行平面间的距离 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线.它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. （四）直线与平面所成的角 1.定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2.规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是 [0°，90°]. （五）二面角 （1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. （3）范围：[0，π] （4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q （5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 题型一 点到平面距离的计算 【典例1】（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【典例2】（2023·河南新乡·统考二模）如图，在直三棱柱中，D是的中点，，，． (1)证明：平面BCD． (2)求点D到平面的距离． 【总结提升】 1.利用垂直关系，构造直角三角形； 2．利用“等积法”． 题型二 直线与平面间距离的计算 【典例3】（2023·高一课时练习）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离． 【典例4】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面之间的距离. 【总结提升】 1. 利用图形特征，找出或作出表示距离的线段； 2. 转化成点到平面的距离问题． 题型三 平行平面间距离的计算 【典例5】（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面之间的距离． 【典例6】（2023春·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长均为1. (1)求到平面的距离； (2)求平面与平面之间的距离. 【总结提升】 转化成线面距离或点面距离计算问题. 题型四 直线与平面所成角（函数值）的计算 【典例7】（2023·江苏·二模）已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点． (1)求证： (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【典例8】（2023秋·黑龙江双鸭山·高二校考期末）如图，已知平面平面，，． (1)连接，求证：； (2)求与平面所成角的大小； 【总结提升】 求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 题型五 二面角（函数值）的计算 【典例9】（2023·江西南昌·统考一模）已知直四棱柱的底面为菱形，且，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 【典例10】（浙江省温州市普通高中2023届高三下学期3月第二次适应性考试数学试题）已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【规律方法】 1.求二面角大小的步骤： 简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择． 2．作二面角的平面角的方法： 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊