专题09 基本图形的平行与垂直（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题09 基本图形的平行与垂直 （1） 空间中直线与平面的位置关系 (1)位置关系：有且只有三种 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 【点拨】“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行． (2)符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α． (3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． （2） 直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定定理 （1）定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；即： （4）作用：证明直线与平面平行 2.直线与平面平行的性质定理 （1）定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. （三）直线与平面垂直 1. 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. （2）记法：l⊥α （3）有关概念： 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足. （4）图示与画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2. 直线与平面垂直的判定定理 （1）定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （2）图形语言 （3）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b＝P⇒l⊥α （4）作用：判断直线与平面垂直. 3. 直线与平面垂直的性质定理 （1）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b （4）作用：证明两直线平行. （四）两平面的位置关系 (1)位置关系：有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线． (2)符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l． (3)图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示． （五）两平面平行 1.判定定理 （1）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （3）作用：证明两个平面平行 2.性质定理 （1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__ （4）作用：证明两直线平行 （六）两平面垂直 1.二面角 （1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. （3）范围：[0，π] （4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q （5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 2.判定定理 （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （4）作用：判断两平面垂直 3. 性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α （4）作用：证明直线与平面垂直 题型一 平行、垂直相关命题的判定 【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【典例2】（2021春·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习）设l是直线，是两个不同的平