专题08 组合-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题08 组合 1.组合 ①组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式 从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. ，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：；性质2：. 2.组合问题 问题 方法 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 考点一 组合数 1.组合数的化简 2.组合数的证明 3.组合数的方程及不等式 考点二 排列与组合的辨析 考点三 简单组合问题 1.有限制条件的组合问题 2.相同元素隔板法 考点四 排列组合的综合应用 1.平均分组问题 2.不平均分组问题 考点一 组合数 1.组合数的化简 例1．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则正整数x的值是1 【答案】ABC 【分析】选项A，根据排列数公式直接判断；选项B、D，根据组合数公式及性质直接求解；选项C，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果. 【详解】选项A，因为，故A正确； 选项B，，故B正确； 选项C，由， ，得，故C正确； 选项D，因为，所以或，即或6，故D错误. 故选：ABC. 例2．（2023春·江苏南京·高二南京市人民中学校考阶段练习）若，则（    ） A．30 B．20 C．12 D．6 【答案】A 【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果. 【详解】若 故选：A. 例3．（2023·全国·高三专题练习）求的值. 【答案】0 【分析】根据组合数计算公式求解. 【详解】 例4．（2023·全国·高三专题练习）求. 【答案】 【分析】根据排列组合数计算公式求解. 【详解】. 例5．（2023·全国·高三专题练习）求值． 【答案】答案见解析 【分析】根据组合数的计算公式求解. 【详解】由组合数的定义知，∴． 又，∴，，， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 2.组合数公式的证明 例6．（2022·高二课时练习）（多选）下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（    ） A． B． C． D．是一个常数 【答案】BD 【分析】根据排列组合计算公式即可求解． 【详解】对于A，∵，∴A不正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C不正确； 对于D，n应满足解得. 所以，故D正确． 故选：BD 例7．（2022·全国·高二专题练习）用组合数公式证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用组合数公式可得，，即证； （2）利用组合数公式可得，通过化简运算可证. 【详解】（1）∵， ， ∴. （2）∵ ∴. 例8．（2022·高二课时练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用组合数公式可证得等式成立. 【详解】证明：. 例9．（2023·全国·高二专题练习）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】直接利用组合数公式计算即可得证. 【详解】证明：因为， ， 所以． 3.组合数的方程及不等式 例10．（2022·全国·高二专题练习）已知则x＝______. 【答案】5 【分析】根据组合数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】由可得x＝2x（舍去）或x＋2x＝n，所以， 所以，即， 化简得， 即，解得n＝15（n＝0舍去），所以x＝5, 故答案为:5 例11．（2022·全国·高二专题练习）使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合数公式可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围，即可得解. 【详解】在中，为正整数，，在中，为正整数，， 因为，则有，即，解得， 因此有，为正整数，所以的取值可以是或或． 故选：D． 例12．（2023春·湖南郴州·高二校考阶段练习）解方程： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据排列数公式即可求解； (2)根据组合数和组合数的性质即可求解. 【详解】（1）且， ，化简，得， 解得不合题意，舍去， （2）依题意，有①或②， 解①得，解②得. 经检验，或都符合