专题09 二项式定理-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题09 二项式定理 二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 考点一 二项式定理的展开和还原 考点二 二项展开式的通项应用 1.求指定项 2.求有理项 考点三 两个多项式乘积的指定项 考点四 三项展开式的指定项 考点五 整除和余数问题 考点一 二项式定理的展开和还原 例1．（2022·高二课时练习）·2n＋·2n－1＋…＋·2n－k＋…＋＝________. 【答案】3n 【分析】由二项式的展开式定理即可求出结果. 【详解】由二项式的展开式定理可得：原式＝(2＋1)n＝3n. 故答案为：3n. 例2．（2022·高二课时练习）已知，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理的逆用直接化简即可. 【详解】, 故选：A. 例3．（2022·高二课时练习）的展开式共有11项，则n等于( ) A．9      B．10      C．11      D．12 【答案】B 【详解】由题可知：的展开式共有11项，所以 故选：B 例4．（2023·全国·高三专题练习）展开：__________． 【答案】 【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可. 【详解】由二项展开式可得， . 故答案为： 考点二 二项展开式的通项应用 1.求指定项 例5．（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）二项式的展开式中，第4项为______． 【答案】 【分析】利用通项公式得到展开式中第4项. 【详解】的展开式中第4项为． 故答案为： 例6．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知二项式的展开式中的系数为，则实数_______. 【答案】 【分析】利用所给的二项式写出展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为：. 当，解得：； 所以由展开式中含的项的系数为20可得： ，得，解得 故答案为:. 例7．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，的系数是__________． 【答案】 【分析】根据题意写出二项式展开式的通项公式，令，求得r的值，即可求得答案. 【详解】由题意可得的通项为， 令， 则的系数是， 故答案为： 例8．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（    ） A． B．60 C．120 D．240 【答案】B 【分析】利用题意找出该组数据的上四分位数为，然后利用二项式展开式的公式找出常数项即可. 【详解】因为， 所以， 所以展开式的通项为： ， 令得：， 所以展开式的常数项为， 故选：B． 例9．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得，进而得到的可能取值. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为. 故选：C 2.求有理项 例10．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）的展开式中,有理项是______.（用关于x的式子表示） 【答案】和 【分析】先写出展开式的通项,使的幂次为整数,解得项数,代入通项即可求得有理项. 【详解】解:由题知,记展开式的通项为, 则, 由,得或8, 所以, 故有理项是和. 故答案为:和 例11．（2023·高三课时练习）二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，且x的次数为整数的项）的系数之和为_________. 【答案】32 【分析】利用通项公式求出所有有理项，从而得到所有有理项的系数和.. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 由为整数，得， 所有有理项的系数之和为. 故答案为：32 例12．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）的展开式中第二个有理项为______． 【答案】 【分析】求出展开式的通项，由题意可得的指数为整数，从而可得出答案. 【详解】的展开式的通项为， 要使第项为有理数，则， 则可取， 所以的展开式中第二个有理项为. 故答案为：. 例13．（2023春·山西晋中·高二介休一中校考阶段练习）（多选）的展开式中，以下为有理项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】AC 【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中的幂指数为整数的所对项数即可. 【详解】的展开式的二项式通项为， 令为整数，求得，2，4，6，8，所以对应第1,3,5,7,9项为有理项， 故选：AC 例1