7.4.1 二项分布-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 7.4.1 二项分布 复习引入 前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型——二项分布和超几何分布. 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.显然，重伯努利试验具有如下共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做次； (2)各次试验的结果相互独立. 新知探索 思考1：下面3个随机试验是否为重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为，那么的概率是多大？重复试验的次数是多少？ (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. (3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 在伯努利试验中，我们关注某个事件是否发生，而在重伯努利试验中，我们关注事件发生的次数.进一步地，因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.例如，对产品抽样检验，随机抽取件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列. 新知探索 问题1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次，中靶次数的概率分布列是怎样的？ 用表示“第次射击中靶”()，用如图的树状图表示试验的可能结果. 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得： 新知探索 为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶得所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为，并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是，中靶次数的分布列为. 新知探索 思考2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数等于2的结果有哪些？写出中靶次数的分布列. 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为： . 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作. 由二项式定理，容易得到：. 新知探索 辨析1.判断正误. (1)在伯努利试验中，关注的是事件是否发生，而在重伯努利试验中，关注的是事件发生的次数.( ) (2)重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果.( ) (3)将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于.( ) 答案：√，√，×. 新知探索 辨析2.下列试验：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同条件下，甲射击10次，5次射中目标.其中是重伯努利试验的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 辨析3.若，则等于_____. 答案：A. 答案：. 例析 例1.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次.求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在内的概率. 解：设“正面朝上”，则.用表示事件发生的次数，则. (1)恰好出现5次正面朝上等价于于是； (2)正面朝上出现的频率在内等价于，于是 例析 例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用表示小球最后落入格子的号码，求的分布列. 解：设“向右下落”，则“向左下落”，且 .因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以.于是，的分布列为.的概率分布图如图所示. 例析 例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？ 解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为. 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0(前三局甲连胜)或3：1(前三局甲获胜2局且第4局甲胜)或3：2(前四局甲、乙各胜