专题05 解三角形在几何与实际中的应用（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题05 解三角形在几何与实际中的应用 知识点1 三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 2、转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。 知识点2 边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 知识点3 实际测量中的有关名称、术语 1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角 （指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 知识点4 利用解三角形解决实际问题的方法步骤 1、实际问题的解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 考点1 角度与三角值的最值范围 【例1】（2023春·云南·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，角的对边分别为，.则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若的内角，，满足，则的最大值为______. 【变式1-3】（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）的内角、、的对边分别为、、，若． （1）求角的大小； （2）若角为锐角，求的取值范围． 考点2 边长与周长的最值范围 【例2】（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中，，，则边AB长度的取值范围是________． 【变式2-1】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，满足 （1）求角； （2）若角的平分线交于点，且，求的最小值. 【变式2-2】（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【变式2-3】（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角中，分别是角所对的边，，且. （1）求； （2）若周长的范围 考点3 面积的最值范围 【例3】（2023·高一课时练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________． 【变式3-1】（2023春·山西·高一统考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且． （1）若，求角的值； （2）若外接圆的周长为，求面积的取值范围． 【变式3-2】（2022春·广东肇庆·高一统考期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求△ABC面积的最大值． 【变式3-3】（2022春·浙江绍兴·高一统考期末）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c（是常数），D是AB的中点． （1）若，求的值； （2）若且，求cosA的值； （3）若时，求△BCD面积的最大值． 【变式3-4】