专题13 数列求和之分组（并项）求和、倒序相加（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分专题】备战2023年高考数学精讲精练（新高考通用）

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用） 专题13 数列求和之分组（并项）求和、倒序相加 目录一览 一、典型例题讲解 二、梳理必备知识 三、解题技巧实战 四、跟踪训练达标 五、高考真题衔接 一、典型例题讲解 【典例1】已知等差数列的前n项和为，满足，_____________． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”） (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【典例2】求的前n项和． 【典例3】已知，求数列的前n项和. 【典例4】已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式. 【典例详解】 【典例1】【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得；（2）利用分组求和法即得. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为 若选择条件①，则由，得，解得，； 若选择条件②，则由，得，解得，； 若选择条件③，则由，得，解得，； （2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有，则（等差+等比的形式，采用分组求和） 的前n项和（注意写法表达问题，前n项和分开完整表述） 【典例2】【详解】依题意，设且其前项和为，且其前项和为，则（分组求和中有一个需要利用错位相减） 现分别求与：，即① 所以② 由①②得：，所以， 所以，整理得：；，即，所以，所以，即的前n项和为：. 【典例3】【答案】为偶数时，；为奇数时，. 【分析】根据数列的通项公式可知，对是奇数或偶数进行分类讨论，再利用分组求和即可求得结果. 【详解】因为（并项求和，一般是出现奇数偶数等分类时使用） 所以当为偶数时，， 所以， 当为奇数时，， 综上可知：当为偶数时，；为奇数时，. 【典例4】【答案】； 【分析】利用的关系即可容易得到；根据函数性质，利用倒序相加法即可求得. 【详解】当 当 时满足上式，故 ； ∵=1（倒序相加的典型条件，注意识别），∴     ∵      ① ∴   ② ∴①②，得 解题技巧：(1)分组求和注意好通项公式的构成形式和解答步骤的规范性。 (2)倒序相加一般会有比较典型的条件，有时候并不会直接给出，要自己化简识别 二、梳理必备知识 1.倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 2.分组求和法 （1）如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. （2）如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 3.数列中与之间的关系： 注意通项能否合并。 4.等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。 （2）等差中项：若三数成等差数列 （3）通项公式： 或 （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②下标为等差数列的项，仍组成等差数列； ③数列（为常数）仍为等差数列； ④若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列。 ⑤若等差数列的前项和，则、、… 是等差数列。 5.等比数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 （2）等比中项：若三数成等比数列（同号），反之不一定成立。 （3）通项公式： （4）前项和公式： （5）常用性质 ①若，则； ②为等比数列，公比为（下标成等差数列,则对应的项成等比数列） ③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列； ④若等比数列的前项和，则、、… 是等比数列. 三、解题技巧实战 【技巧实战1】 1．已知数列是等差数列，且，前四项的和为16，数列满足，，且数列为等比数列. (1)求数列和的通项公式： (2)求数列的前项和. 【技巧实战2】 2．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，． (1)求，的通项公式； (2)若数列，求前项和． 【技巧实战3】 3．已知为数列的前项和,． (1)证明:数列为等比数列; (2)求数列的前项和． 【技巧实战4】 4．设函数，设，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 四、跟踪训练达标 分组（并项）求和 1．（甘肃省2023届第一次高考诊断考试文科数学试题）已知等差数列的前项和为，且，等比数列中，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）数列的前n项和为满足，已知． (1)