专题04 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题04分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：分类加法计数原理 考点二：分步乘法计数原理 考点三：两个计数原理的简单应用 考点四：抽取(分配)问题 考点五：组数问题 考点六：涂色与种植问题 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、分类加法计数原理 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 二、分步乘法计数原理 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【方法技巧】 1.分类加法计数原理解题的一般思路 2.使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 一是要按照事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的; 二是各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成才算完成这件事. 3.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 4.选(抽)取与分配问题的解法 (1)直接法:使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若按对象特征抽取的,则按分类进行. (2)间接法:去掉限制条件计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 5.解决涂色(种植)问题的常用方法 (1)①按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析. ②以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析. ③将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. (2)种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数. 6.组数问题的常见类型及解决原则 (1)常见的组数问题 ①组成的数为“奇数”、“偶数”、“被某数整除的数”; ②在某一定范围内的数的问题; ③各位数字和为某一定值问题; ④各位数字之间满足某种关系问题等. (2)解决原则 ①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解. ②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位. 二、【基础考点】 【考点一】分类加法计数原理 【典例1】已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　) A.40 B.16 C.13 D.10 【解析】分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面； 第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面. 根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面. 故选C. 【典例2】如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有__________种. 【解析】按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1，4，共2种； 第2类，脱落2个，有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)，共6种； 第3类，脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种； 第4类，脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种. 根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况. 【考点二】分步乘法计数原理 【典例1】现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为(　　) A.39 B.24 C.15 D.16 【解析】先从3名老师中任选1名，有3种选法， 再从13名学生中任选1名，有13种选法. 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.故选A. 【典例2】(多选)已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数用式子表示为(　　) A.4＋4＋4＋4＋4＋4 B.4＋4＋4＋4 C.3×4 D.3×4×2 【解析】法一　完成表示不同的圆这件事有三步： 第1步，确定a有3种不同的选取方法； 第2步，确定b有4种不同的选取方法； 第3步，确定r有2种不同的选取方法. 由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个). 法二　由分类加法计数原理得，当a＝1时，b＝4，5，6，7