专题03 导数在研究函数中的应用-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题03导数在研究函数中的应用 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：函数图象与导函数图象的关系 考点二：不含参数函数的单调区间 考点三：含参数函数的单调性 考点四：根据函数的单调性求参数 考点五：根据函数的单调性比较大小 考点六：根据函数的单调性解不等式 考点七：不含参数的函数求极值 考点八：含参数的函数求极值 考点九：由极值求参数的值或取值范围 考点十：极值与最值的关系 考点十一：求函数的最值 考点十二：利用最值证明不等式 考点十三: 求含参数的函数的最值 考点十四：已知函数最值求参数 考点十五：与最值有关的探究性问题 考点十六：利用导数研究函数的零点个数 考点十七：由函数的零点个数求参数的范围 考点十八：导数在生活实际问题中应用 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、函数的单调性与导数的关系 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 二、由单调性求参数的取值范围 在某区间D上，若f′(x)>0⇒函数f(x)在D上单调递增；在某区间D上，若f′(x)<0⇒函数f(x)在D上单调递减． 若函数f(x)在D上单调递增⇒f′(x)≥0；若函数f(x)在D上单调递减⇒f′(x)≤0. 三、函数图象的增长快慢的比较 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 四、函数极值的概念 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 五、极值与最值的关系 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 【方法技巧】 1.通过图象研究函数的单调性的方法 ①观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； ②观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． 2.含有参数的函数单调性问题的处理方法 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误． (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了． 3.已知函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数的范围的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解； (3)分离参数法．由f′(x)≥0或f′(x)≤0将所求参数分离到一侧，另一侧为不含参数的函数．只要求出其最值，即可求参数范围． 4.函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 4.已知函数的极值情况求参数时的注意问题 (1)待定系数法：根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值