专题02 导数的运算-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题02导数的运算 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：利用导数公式求函数的导数 考点二：求切线的方程 考点三：切线与参数值 考点四：曲线上的点到直线的最小距离问题 考点五：导数公式的实际应用 考点六：利用运算法则求函数的导数 考点七：利用导数求参数 考点八：利用导数解决实际问题 考点九：求复合函数的导数 考点十：复合函数求导法则的综合应用 考点十一：复合函数导数的应用问题 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、基本初等函数的求导公式 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα，(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax (a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 二、f(x)±g(x)的导数 两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 三、f(x)g(x)和的导数 1．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． 2.′＝(g(x)≠0)． 四、复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 五、复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【方法技巧】 1.运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项 (1)对于简单的函数，直接套用公式； (2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导． 2.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 3.与切线有关问题的解题策略 (1)明确切点，若切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝f′(x0). (2)切线方程一般可用点斜式求解． (3)结合题设条件得出所求的代数式或方程． 4.利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式． (2)如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 5.求复合函数的导数的步骤 6.利用导数的几何意义解题时的注意点 (1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出． (2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组． (3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件． (4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 二、【基础考点】 【考点一】利用导数公式求函数的导数 【典例1】(多选)下列结论中，正确的是(　　) A.若y＝，则y′＝－ B.若y＝，则y′＝ C.若y＝，则y′＝－2x－3 D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 【解析】选项A，y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－； 选项B，y＝＝x，则y′＝x－≠； 选项C，y＝＝x－2，则y′＝－2x－3； 选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3， ∴f′(1)＝3. ∴故选A，C，D. 【典例2】已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　) A.4 B.－4 C.5 D.－5 【解析】∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4， ∴α＝4. 【考点二】求切线的方程 【典例1】若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A.4x－y－3＝0