专题01 导数的概念及其意义-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点预测及技巧归纳（人教A版2019）

专题01导数的概念及其意义 一、考点预测 基础知识 方法技巧 二、基础考点 考点一：求物体运动的平均速度 考点二：求瞬时速度 考点三：求曲线在某点处切线的斜率或方程 考点四：求函数的平均变化率 考点五：导数定义的直接应用 考点六：在x＝x0处导数概念的应用 考点七：求切线方程 考点八：求切点坐标或参数值 考点九：与导数的几何意义有关的图象问题 三、能力提升 提升一 提升二 提升三 提升四 四、考点检测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【考点预测】 【基础知识】 一、瞬时速度 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 3．瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 . 二、抛物线的切线的斜率 1．抛物线的切线：设P0是抛物线上一定点，P是抛物线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线在点P0处的切线． 2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0. 三、导数的概念 1．平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 四、导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 五、函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且越大，说明函数图象变化得越快． 六、导函数(导数) 导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 【方法技巧】 1.求平均变化率的步骤 物体的运动方程为y＝f，求在区间的平均变化率的步骤： (1)求时间的改变量Δx＝x－x0； (2)求函数值的变化量Δy＝f－f； (3)求平均变化率 . 2.求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度＝. (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度． 3.求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算． (2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0，可令Δx＝0，求出结果即可． 4.求曲线上某点处切线方程的三个步骤 5.求函数y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 处的导数的三个步骤 6.关于导数的实际意义 根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生．可以利用上述实际问题理解导数的实际意义，导数是在某一时刻附近的瞬时变化率，是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小． 7.利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0). (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 8.导数几何意义理解中的两个关键点 关键点一：y＝