第一章 第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P285] [保分练] 1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　) A．¬p∨q B．p∧q C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q) 解析　命题p为真命题，命题q为假命题，从而选项中只有(¬p)∨(¬q)为真命题． 答案　D 2．命题p：∀x∈R，x2＋4x＋4>0，则命题p的否定¬p以及¬p的真假性为(　　) A．¬p：∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0，假 B．¬p：∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0，真 C．¬p：∃x0∈R，x＋4x0＋4>0，假 D．¬p：∀x∈R，x＋4x0＋4≤0，真 解析　由全称命题的否定为特称命题，可得否定是“∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0”，令x0＝－2，则x＋4x0＋4＝4－8＋4＝0，所以命题“∃x0∈R，x＋4x0＋4≤0”为真命题，故选B. 答案　B 3．(2022·广东梅州质检)下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，ex－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，ln x<1 D．∃x∈R，tan x＝2 解析　因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题．故选B. 答案　B 4．有关下列命题的说法正确的是(　　) A．命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题为“若x2＝4，则x≠2” B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件 C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题 D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题 解析　命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题为“若x2≠4，则x≠2”，所以A错误；“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，所以B错误；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以其逆否命题为真命题，C错误；若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题，D正确． 答案　D 5．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg }，则下列命题中真命题的个数是(　　) ①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A. A．4 B．3 C．2 D．1 解析　因为A＝{y|y＝x2＋2}，所以A＝{y|y≥2}，因为B＝{x|y＝lg }，所以B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数为2.故选C. 答案　C 6．(2022·成都模拟)已知命题p：∀x>0，ln (x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　) A．p∧q B．p∧(¬q) C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q) 解析　因为x>0，所以x＋1>1，ln (x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln (x＋1)>0，故p为真命题．由1>－2，12<(－2)2可知q是假命题，所以¬q为真命题．根据复合命题真值表可知p∧(¬q)为真命题． 答案　B 7．下列命题是真命题的是(　　) A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin (2x＋φ)都不是偶函数 B．∃α，β∈R，使cos (α＋β)＝cos α＋cos β C．向量a＝(2，1)，b＝(－1，0)，则a在b的方向上的投影为2 D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件 解析　当φ＝时，f(x)＝cos 2x，为偶函数，故A为假命题；令α＝，β＝－，则cos (α＋β)＝cos ＝，cos α＋cos β＝＋0＝，cos (α＋β)＝cos α＋cos β成立，故B为真命题；a在b的方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；由|x|≤1，可得－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，|x|≤1不一定成立，故“|x|≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，D为假命题． 答案　B 8．给出下列四个命题： p1：∀x∈R，ex≥x＋1； p2：∀x∈(0，＋∞)，> logx； p3：∃x∈(0，3)，2x<x2； p4：∃x∈(0，＋∞)，ln x>x－1. 其中真命题是(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 解析　设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1， 当x<0时，f′(x)<0； 当x>0时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝e0－0－1＝0， 所以ex≥x＋1，所以p1为真命题． 此时< logx，所以p2为假命题． 取x＝，则＝，2＝<＝6<，所以p3为真命题． 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1， 当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞