第二章 第三节　奇偶性、对称性与周期性-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P291] [保分练] 1．若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k的值为(　　) A．－2 B．0 C．1或－1 D．2 解析　因为f(x)在定义域上为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，即＝， 即＝， 根据等式恒成立，可得k＝±1. 答案　C 2．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析　f(x)＝＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x， ∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 答案　B 3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)等于(　　) A．－2 B．0 C．2 D．1 解析　∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2， ∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)， ∴f(1)＝0， f＝f＝－f＝－4＝－2， ∴f＋f(1)＝－2. 答案　A 4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2025)等于(　　) A．－3 B．0 C．1 D．3 解析　用－x替代x，得f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)， ∴T＝6，∴f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3). ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0， 即f(2025)＝0. 答案　B 5．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则下列结论不成立的是(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6) C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6) 解析　∵y＝f(x＋4)为偶函数， ∴f(－x＋4)＝f(x＋4)， ∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称， ∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5). 又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数， ∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)，f(3)>f(2)， 故A错误，B，C，D正确． 答案　A 6．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 解析　利用偶函数的定义可求参数a的值． 因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)， 故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)， 因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)， 即x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到x3(a－1)(2x＋2－x)＝0，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意x∈R恒成立，故a＝1，故答案为1. 答案　1 7．已知函数f(x)对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝________． 解析　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(26)＝f(2). ∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1. 答案　1 8．f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)的解析式为________． 解析　当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2·(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析式为f(x)＝ 答案　f(x)＝ 9．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解析　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]. 10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式． 解析　(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0，2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. ∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－