第二章 第七节　对数与对数函数-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P299] [保分练] 1．(2022·T8联考)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x>0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)＝(　　) A．－5 B．－6 C．5 D．6 解析　由已知，函数y＝f(x)与函数y＝2x互为反函数，则f(x)＝log2x.由题设，当x>0时，g(x)＝log2x－x，则g(8)＝log28－8＝3－8＝－5.因为g(x)为奇函数，所以g(－8)＝－g(8)＝5，故选C. 答案　C 2．设a＝log0.2 0.3，b＝log23，c＝log46，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b 解析　因为a＝log0.20.3<log0.20.2＝1，b＝log23＝log49，又c＝log46，log49>log46>log44＝1，所以b>c>a，故选D. 答案　D 3．若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 解析　根据不等式的性质和对数的换底公式可得 <<<0， 即log2c<log2b<log2a<0， 可得c<b<a<1.故选C. 答案　C 4．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　) 解析　∵函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上是奇函数，∴f(0)＝0，∴k＝2，经检验k＝2满足题意，又函数为减函数，∴0<a<1，∴g(x)＝loga(x＋2)的定义域为{x|x>－2}，且g(x)单调递减，故选A. 答案　A 5．已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法： ①f(x)的图象关于原点对称； ②f(x)的图象关于y轴对称； ③f(x)的最大值为0； ④f(x)在区间(－1，1)上单调递增． 其中正确的是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解析　f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数， ∴①错误，②正确； 根据f(x)的图象(图略)可知④错误； ∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确． 答案　C 6．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 解析　令x－3＝1，则x＝4， ∴y＝loga1－1＝－1， 故点P的坐标为(4，－1). 答案　(4，－1) 7．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________． 解析　当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知，x≥0. 答案　[0，＋∞) 8．若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0，2]上的最大值为2，则实数a＝________． 解析　令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0，2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝. 当a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2， 得a＝2； 当0<a<1时，y＝logau是减函数，f(x)max＝loga＝2，得a＝(舍去).故a＝2. 答案　2 9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠0)，且f(1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解析　(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)， ∴a＝2.由得－1<x<3， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]. ∴当x∈[0，1]时，f(x)单调递增； 当x∈时，f(x)单调递减， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 10．已知函数f(x)＝log2. (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； (2)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 解析　(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0， ∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0. 经验证当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数． ∴a＝0. (2)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2. 由题设得log2(1＋a)－log2≥2， 则log2(1＋a)≥log2(4a＋2). ∴解得－<a≤－. 故实数a