第二章 高考增分策略(4)-（课件）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

高考增分策略(4) 函数奇偶性的拓广及应用 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 谢谢观看 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果，以下撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用． [拓广1]　若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c. [证明]　由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c. [应用]　对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 [解析]　设g(x)＝a sin x＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数．注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数．故选D. [答案]　D [点评]　由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能应用． [拓广2]　已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. [应用]　设函数f(x)＝ eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1) 的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． [解析]　显然函数f(x)的定义域为R， f(x)＝ eq \f(（x＋1）2＋sin x,x2＋1) ＝1＋ eq \f(2x＋sin x,x2＋1) ， 设g(x)＝ eq \f(2x＋sin x,x2＋1) ，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. [答案]　2 [拓广3]　若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). [证明]　当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x). 综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). [应用]　设函数f(x)＝ln (1＋|x|)－ eq \f(1,1＋x2) ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) ∪(1，＋∞) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) [解析]　易知函数f(x)的定义域为R， 且f(x)为偶函数． 当x≥0时，f(x)＝ln (1＋x)－ eq \f(1,1＋x2) ， 易知此时f(x)单调递增． 所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)， 所以|x|>|2x－1|，解得 eq \f(1,3) <x<1.故选A. [答案]　A [点评]　本例结合偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，减少了不必要的讨论，极大地减少了运算量． $