预测07 圆的综合应用-【临门一脚】2023年中考数学三轮冲刺过关（福建专用）

【临门一脚】预测07 圆的综合应用 一、【中考预测】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 出题概率：☆☆☆☆☆ 考向大胆猜：解答题（20-24题之间） 二、【知识回顾】 1.垂径定理及其推论： （1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： 1 弧AC=弧AD; ②弧BD=弧CB；③CE=DE; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 2.圆心角、弧、弦的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3.圆周角定理及其推论： （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a, ∠A=∠O. 图a 图b 图c （2）推论： ①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C. ②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°. ③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 4.切线的判定： （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 5.切线的性质： （1）切线与圆只有一个公共点. （2）切线到圆心的距离等于圆的半径. （3）切线垂直于经过切点的半径. 6.圆中常见辅助线+解题技巧： （1）连半径，构造等腰 （2）添加弦心距，构造直角三角形 （3）遇角，找同弧的圆周角或圆心角，构造角度关系 （4）遇四边形，利用内接四边形的性质（对角互补） 三、【历年真题】 【真题1】（2021·福建·统考中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可． 【详解】解：连接OC， CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD， ∴∠CAD=2∠CAP， ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠COP＝2∠CAO ∴∠COP＝∠CAD ∵ ∴OC=3 在Rt△COP中，OC=3，PC=4 ∴OP=5． ∴== 故选：D． 【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解． 【真题2】（2020·福建·统考中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案． 【详解】∵为中点， ∴, ∴∠ADB=∠ABD，AB=AD， ∵， ∴∠CBD=∠ADB=∠ABD， ∵四边形内接于， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴3∠ADB+60°=180°， ∴=40°， 故选：A． 【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补． 【真题3】（2019·福建·统考中考真题）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于(   ) A．55° B．70° C．110° D．125° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∵∠ACB＝55°， ∴∠AOB＝110°， ∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数． 【真题4】（2018·福建·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（　　） A．40° B．50° C．60°