专题09 立体几何中的平行与垂直问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题09立体几何中的平行与垂直问题 【考点预测】 1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 【典型例题】 例1．（2023春·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（    ） ①，； ②，； ③，； ④，；  ⑤，，． A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤ 【答案】A 【解析】由题意， ①，，故，故正确； ②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误； ③，则或，故错误； ④，；则与可能平行或相交，故错误； ⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确. 故选：A. 例2．（2023·全国·高一专题练习）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【解析】对于A，则错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误； 对于B，若则错误，如图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误； 对于C，若则，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足但α与γ相交，故C错误； 对于D，因为由面面垂直的判定定理得：，故D正确． 故选：D． 例3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．//平面 C． D．//平面 【答案】B 【解析】不妨设棱柱的高为，. B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误； A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确； C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确； D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确. 故选：B 例4．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（    ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D．EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】D 【解析】如图所示： 连接EH，FG. 因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝， 所以GF//BD，且GF＝BD. 因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以EH//BD，且EH＝BD， 所以EH//GF，且EH≠GF， 所以EF与GH相交，设其交点为M， 则M∈平面ABC，同理M∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以M在直线AC上． 故选：D. 例5．（多选题）（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱中点，则A、B、C、D四点共面的图形（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：取GD的中点F，连结BF、EF， 因为B、F均为相应边的中点，则BF∥HG，且BF＝HG， 又HG∥AE，HG＝AE，则BF∥AE，BF＝AE，即ABCD为平行四边形， 所以AB∥EF，同理CD∥EF， 则AB∥CD，即A、B、C、D四点共面，故A正确； 对于B：显然AB与CD异面，故B