专题08 立体几何中的范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题08立体几何中的范围与最值问题 【考点预测】 动态立体几何问题指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题．根据变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转．根据所求变量可分为：一是求相关线、面、体的测度；二是求相关角度与距离的范围．动态立体几何问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力． 【典型例题】 例1．（2023·高一课时练习）已知正三棱柱的所有棱长都是2，点M在棱AC上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，将三棱柱的上底面ABC 沿AC展开至与平面共面， 此时． 因为，且， 由余弦定理可得， 解得， 所以的最小值为． 故选：A. 例2．（2023·高一课时练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且．若点、、分别为棱、、上的动点（不包含端点），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把四棱锥沿展开，得到如图所示图形： 的最小时，点与共线时，所以求的最小值即求的长度， 因为，， 所以在中，结合余弦定理得，所以，因为，所以， 在中， , 故选：C. 例3．（2023·全国·高一专题练习）过圆锥顶点的截面三角形面积的取值范围是，该圆锥的母线长为，则该圆锥的顶角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为，其中， 由题意可知，过圆锥顶点的截面三角形面积为， 所以，， 因为，故，故该圆锥的顶角的最大值是. 故选：B. 例4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（    ） A．线段长度最大值为，无最小值 B．线段长度最小值为，无最大值 C．线段长度最大值为，最小值为 D．线段长度无最大值，无最小值 【答案】C 【解析】分别取的中点, 因为，平面，平面， 所以平面,同理可得平面. 因为平面,所以平面平面. 因为P是底面上一点．且∥平面， 所以点的轨迹为线段. 因为正方体的棱长为2，所以,, 当与点或重合时，； 当为线段的中点时，. 所以线段长度最大值为，最小值为. 故选:C. 例5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是（    ） A．当点P在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为 B．当点P为棱的中点时，CN∥平面 C．当点P在棱上时，点P到平面的距离的最小值为 D．当点时，满足平面的点P共有2个 【答案】C 【解析】由于线面角的最大值为， 与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A错误； 取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接, 且 故 平面,面，故不能与平面平行，故选项B错误； 到平面的距离始终为，故当点运动到点时，取得最小值为，故 ,, 故，故选项C正确. 当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故选项D错误 故选：C. 例6．（2023·全国·高一专题练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（　　） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解析】设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的高为h 则， 解得：， 设截面在圆锥底面的轨迹， 则截面等腰三角形的高， 所以截面面积 ， 当且仅当，即等号成立， 故选：C 例7．（2023·全国·高一专题练习）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得 在正中，可得.从而直角在中解得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过的平面截球所得截面的面积最大为； 又为中点，由正方体结构特征可得 由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时， 截面圆半径最小为所以. 因此，过的平面截球所得截面的面积范围为. 故选：A. 例8．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，分别取的中点，连接, 因为为所在棱的中点， 所以,所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 因为 所以四边形为平行四边形， 所以又平面，平面， 所以平面； 又因为,且平面,平面, 所以平面平面， 因为是侧面内一点，且平面， 则点必在线段上， 在直角三角