专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题07 经典三类球：外接球、内切球、棱切球 【考点预测】 考点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 考点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 考点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 考点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 考点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 考点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： ． 考点七：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 考点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 考点九：棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 【典型例题】 例1．（2023春·天津宁河·高一校考期末）在三棱锥中，面，且在中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得出图形如右图： O为球心，N为底面截面圆的圆心，ON⊥面ABC， ∵在三棱锥P-ABC中，AP=2， ，PA⊥面ABC，且在中， ∴根据正弦定理得出： ，解得， ∵PA⊥面ABC，∴PA//ON， ∵PA=2，AN=1，ON=d， ∴OA=OP=R， ∴根据等腰三角形得出： ， 解得 ∴三棱锥的外接球的表面积为. 故选：B. 例2．（2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）在正三棱锥S﹣ABC中，外接球的表面积为36π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】取AC的中点E，连结BE、SE， ∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SA=SC，BA=BC． 又∵E为AC的中点，∴SE⊥AC且BE⊥AC ∵SE、BE是平面SBE内的相交直线， ∴AC⊥平面SBE，又SB在平面SBE内 可得SB⊥AC 又∵MN是△SBC的中位线， ∴MN∥SB，可得MN⊥AC 又∵MN⊥AM，又AM，AC是平面SAC内的相交直线， ∴MN⊥平面SAC，结合MN∥SB，可得SB⊥平面SAC 又∵三棱锥S﹣ABC是正三棱锥， ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°， 因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球， 设球的半径为R，可得，解得R=3， ∴，解之得SA= 故选：D 例3．（2023春·河南南阳·高一校联考期末）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形为两个全等的等腰梯形，则该刍甍的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取，中点，，正方形中心，中点，连接，，，，如图， 依题意，平面，，点是的中点，， 等腰中，，，同理， 因此，等腰梯形的高，由几何体的结构特征知， 刍甍的外接球球心在直线上，连，，，正方形外接圆半径