专题06 复数的综合运用-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题06 复数的综合运用 【考点预测】 一、基本概念 （1）叫虚数单位，满足 ，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、基本性质 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 【典型例题】 例1．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）复数满足，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则. 则. 则. 故选：C 例2．（2023春·安徽芜湖·高一校考期中）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由题意得， 所以z在复平面内对应的点为(3,1)，位于第一象限. 故选：A 例3．（2023春·河南·高一校联考期中）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，.得.根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由题意 ，显然 ，所以在复平面中对应的点在第一象限； 故选：A. 例4．（2023春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知复数z满足，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，， ，解得， 则，又， ， 故. 故选：B. 例5．（2023春·山西·高一统考期中）已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，又，所以， 由时，不等式恒成立， 则恒成立，即恒成立， 令，因为时，单调递增， 所以，所以实数t的取值范围是． 故选：B 例6．（多选题）（2023春·广西桂林·高一校考期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内对应的点在第一象限 B． C．的虚部是 D．的实部是1 【答案】ABD 【解析】由题得. 所以复数在复平面内对应的点在第一象限，所以选项A正确； ，所以选项B正确； 的虚部是1，所以选项C错误； 的实部是1，所以选项D正确. 故选：ABD 例7．（多选题）（2023春·福建三明·高一校联考期中）下列有关复数的叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的虚部为 C．若，则不可能为纯虚数 ． D．若，则  ． 【答案】ACD 【解析】，所以，A正确； ，虚部是，B错误； ，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确； ，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确． 故选：ACD． 例8．（2023春·浙江·高一期中）已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________． 【答案】 【解析】设，则， 因为，故 ，解得， 故，故， 故答案为： 例9．（2023春·河南濮阳·高一统考期中）已知复数，则复数___________. 【答案】 【解析】 . 因为，而， 所以，所以. 故答案为： 例10．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知复数满足，求的最小值______． 【答案】10 【解析】复数，由，即， 于是得，整理得，，即， 表示点与点、距离的和， 显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交，因此，， 当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”， 所以的最小值是10. 故答案为：10 例11．（2023春·河南·高一校联考期中）设. (1)证明：； (2)在复数范围内，利用公式解方程. 【解析】（1）， 故. （2），即，即 则或， 当，， 当，或 故方程的根为1或或. 例12．（2023春·浙江金华·高一统考期中）已知复数是虚数单位. (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 【解析】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以， 解得，所以 （2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以， 所以， 所以，所以