专题05 解三角形范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题05 解三角形范围与最值问题 【考点预测】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 【典型例题】 例1．（2023春·辽宁·高一校联考期末）在中，角所对的边分别为，且的面积.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 因为， 所以， 由余弦定理，即， 当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：D 例2．（2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，所以，又，整理得：， 又，得到，因为角A、B、C为锐角，故、、均为正数， 故整理得，当且仅当时等号成立， 此时， 当取最小值时，取最大值，取最小值，故的最大值为， 即当时，的最大值为． 故选：C． 例3．（2023·高一单元测试）在中，若，，则的周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 两边同乘得， 两边同加得， 即，又， 则，设角对应的边分别为， 由正弦定理得其中， 不妨设，易得当时，取得最大值，此时周长最大值为. 故选：A. 例4．（2023春·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）已知锐角中，，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理得即， 所以，即， 又是锐角三角形， 所以，即，所以， 所以， 故选：D. 例5．（2023春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 整理可得：， 由余弦定理可得：， 由为三角形内角，即，可得：. 故选：C． 例6．（2023春·浙江·高一期中）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，故三角形外接圆直径为， 故 ， 因为三角形为锐角三角形，故，故， 故，故， 故， 故选：D 例7．（多选题）（2023春·吉林长春·高一校考期中）已知的内角的对边分别为，若，且，延长至.则下面结论正确的是（    ） A． B． C．若，则周长的最大值为 D．若，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】， ，解得：， 由得：， ， ，解得：（舍）或， ，，A正确； ，，，即， 为等边三角形，，B错误； ，， 在中，由余弦定理得：， （当且仅当时取等号）， 解得：，周长的最大值为，C正确； 设，则， ， 则当时，取得最大值，D正确. 故选：ACD. 例8．（多选题）（2023春·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ） A． B．向量，夹角的最小值为 C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为 【答案】AC 【解析】，，故A对； ，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对； ，故D错. 故选：AC 例9．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，所以， 又因为函数在内单调递增，所以，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， 则 ， 因为，所以，则， 因为存在最大值，则，解得． 故答案为：． 例10．（2023春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________ 【答案】 【解析】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 例11．（2023春·天津河东·高一天津市第四十五中学校考阶段练习）如图，在中，，为中点，为上一点，且满足