专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题 【考点预测】 考点一：求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 考点二：异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 考点三：直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 考点四：作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 考点五：求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 【典型例题】 例1．（2023·全国·高一专题练习）在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点为E，连接，，则， 所以为与所成的角（或其补角）. 设正四面体的棱长为，则，，， 所以在中，. 故选：C 例2．（2023·全国·高一专题练习）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（    ） A．直线与所成的角为60° B．直线与所成的角为60° C．直线与平面所成的角为30° D．直线与平面所成的角为30° 【答案】AD 【解析】连接，由底面，所以， 由，是边长为1的正方形， 所以，， 对A，由底面，所以， 又， 所以平面， 由∥， 所以直线与所成的角为直线与所成的角， ，所以，故A正确； 对B，由是边长为1的正方形， 所以，由底面，所以， 又，所以平面， 所以，故B错误； 对C，由底面，所以直线与平面所成的角为， 由，所以，故C错误； 对D，由底面，所以， 又，， 所以， 直线与平面所成的角为， 由，所以， 所以，故D正确. 故选：AD 例3．（2023春·全国·高一专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（    ） A．底面边长为6米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为 C．侧面积为平方米 D．体积为立方米 【答案】AD 【解析】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为， 所以，则， 在直角中，可得，即，解得， 所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确； 对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角， 在直角中，可得，所以B错误； 对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误； 对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确. 故选：AD. 例4．（2023春·全国·高一专题练习）若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABC