专题03 菱形、正方形、三角形的中位线【知识梳理+专项训练】-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末考点大串讲（苏科版）

专题03 菱形、正方形、三角形的中位线 知识点一、菱形 1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 一组邻边相等的四边形不一定是菱形. 2. 菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直. （1）菱形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，菱形的边长的平方等于两条对角线一半的平方和. （3）菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半. 3. 菱形的判定定理： （1）四边相等的四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 四边形 四条边相等 平行四边形 对角线互相垂直 一组邻边相等 菱形 矩形 矩形 例：如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质．版权所有 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°， ∴AE2， 即AE的长为2． 知识点二、正方形 1. 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2. 正方形的性质：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形、菱形的一切性质. （1）正方形是有一组邻边相等的矩形； （2）正方形是有一个角是直角的菱形. 3. 正方形的判定定理： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）有一个角是直角的菱形是正方形； （3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 4. 几个特殊的四边形间的关系： 例：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F． （1）求证：四边形DECF为正方形； （2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积． 【考点】正方形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．版权所有 【解答】（1）证明：过D作DN⊥AB，连接CD， ∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形DECF是矩形， ∵∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB， ∴DF＝DN，DE＝DN， ∴FD＝ED， ∴四边形DECF是正方形； （2）解：∵BC＝8，AC＝6， ∴AB10， ∵S△ABCBC•DEAC•DFAB•DN， ∴6×8（6+8+10）×DF， ∴DF＝2， ∴正方形DECF的面积＝DF2＝4． 知识点三、三角形的中位线的概念及定理 1. 概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形中位线. 如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的一条中位线. PS：三角形的中位线是一条线段，不是直线或射线. 2. 三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶点与对边中点的连线. 3. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. 例：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝DC； （2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【考点】三角形中位线定理．版权所有 【解答】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE． 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝DB． ∵AD是BC边上的中线， ∴DC＝DB， ∴AF＝DC； （2）解：四边形ADCF是矩形． 证明：连接DF， 由（1）得AF＝DB，AF∥DB， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AB＝DF， ∵AB＝AC， ∴AC＝DF， 由（1）得AF＝DC，AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴四边形ADCF是矩形． 知识点四、中点四边形 1. 中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形. 2. 常见的中