第1章 4 第1课时 角平分线-【金榜行动】2022-2023学年八年级数学下册习题课件（北师大版）

第一章　三角形的证明 4　角平分线 第1课时　角平分线 金榜行动 数学　八年级　下册 • BS　 1 相等 B A A 3 平分线 3cm A 90° B 4∶3 ①②③ 角平分线的性质定理． 【例1】如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是点M、N、求证：PM＝PN. 【思路分析】易证△ABD≌△CBD.得∠BDA＝∠BDC.由角平分线的性质可证PM＝PN. 【规范解答】∵BD为∠ABC的平分线．∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝BC,∠ABD＝∠CBD,BD＝BD))，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB.∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN. 【题后反思】运用角平分线的性质定理是证明线段相等的又一方法． 角平分线的判定定理． 【例2】如图，已知AB＝CD，△PAB的面积与△PCD的面积相等． 求证：OP平分∠AOD. 【规范解答】过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OD于F.∵S△PAB＝S△PCD，∴eq \f(1,2)AB·PE＝eq \f(1,2)CD·PF. ∵AB＝CD，∴PE＝PF.∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴OP平分∠AOD. 知识点一：角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 ． 1．(台州中考)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．eq \r(3)　　　　 D．4 2．如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A、C，下列结论无法得出的是(　　) A．AD＝CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB＝∠CDB 3．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 4．(台州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是 . 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3. (1)求DE的长； (2)求△ADB的面积． 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD，又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3；　 (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10，又由(1)知DE＝3，∴S△ADB＝eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)×10×3＝15. 知识点二：角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的 上． 6．如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝3cm，当PD＝ 时，P点在∠AOB的平分线上． 7．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD＝CD.求证：点D在∠BAC的平分线上． 证明：在△BDE和△CDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BED＝∠CFD＝90°,∠BDF＝∠CDF,BD＝CD))，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上． 8．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　) A．M点　　 B．N点　　 C．P点　　 D．Q点 9．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD的距离相等，则∠BPC的度数是 . 10．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 11．(连云港中考)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 . 12．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F.有下列结论：①PE＝PF；②AE＝AF；③∠APE＝∠APF；④AE＞PE.其中一定成立的有 (填序号)． 13．(甘肃中考)如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．(不写作法，保留作图痕