专题06 导数中的恒（能）成立问题-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版）

专题06 导数中的恒（能）成立问题 含参不等式恒(能)成立问题的解题策略 ①分离参数法 将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得出参数的范围。 一般地,恒成立,只需即可;恒成立,只需即可。 能成立,只需即可;能成立,只需即可。 ②等价转化成分类讨论 通过求参数进行分类讨论，确定函数的单调性，进一步求出最值. ③最值法 将不等式转化为含某个待求参数的函数最值问题,先求该函数的最值,然后构建不等式求解 问题 解决方法 ,恒成立 ,恒成立 ,能成立 ,能成立 ,,成立 ,,成立 ,,成立 ,,成立 考点一 分离参数法 考点二 分类讨论 考点三 最值法 考点一 分离参数法 例1．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】恒成立即在上恒成立,只需即可,构造新函数求导求单调性及最大值即可. 【详解】解:由题知恒成立, 即在上恒成立, 即在上恒成立,即, 记,所以, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, 所以, 所以. 故答案为: 例2．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）已知函数，其中是自然对数的底数.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】对于恒成立问题利用参变分离可得，构建新函数，利用导数求在上的最大值，即可得结果. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 记，则， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减，故时，取得最大值， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛： （1）恒成立，等价于； （2）恒成立，等价于. 例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答. （2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答. 【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0， 因此，解得，此时， 当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0， 所以函数的解析式为. （2），不等式， 令，，求导得， 因此函数在上单调递减，则当时，， 因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有， 所以实数的取值范围是. 例4．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数对一切，恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意利用参变分离可得对一切，恒成立，构建，利用导数求其最小值，即可得结果. 【详解】∵，即， 注意到，整理得， 故原题意等价于对一切，恒成立. 设，则， 令，则；令，则； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为， 故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 例5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式对任意都成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【分析】由不等式对任意都成立可知，将实数分离开来，构造函数利用函数单调性求出的最小值即可求得结果. 【详解】由不等式，可得， 设，即使得的最小值满足条件即可， 又， 令，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即恒成立. 因此当时，； 当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即实数的最大值为. 故选：. 考点二 分类讨论 例6．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考期中）已知函数是自然对数的底数）. (1)若函数在处的切线方程为，求实数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先对函数求导，再求出在处的导数值，根据题目所给直线的斜率即可求解. （2）首先构造新函数，根据题意的分析，只要即可，然后通过对分类讨论，求出的最小值即可. 【详解】（1）由题意，知，则. 因为函数在处的切线方程为， 所以，解得. （2）令， 则，即， 所以，即 因为，使得成立， 即，使得成立， 所以. ①当时，在上恒成立，函数在区间上单调递增， 所以， 所以. ②当时，令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故. 综上所述，实数的取值范围为. 例7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出导数，分，，讨论单调性. (2)根据第（1）问，分，，讨论在的单调性，求