猜题02 第22题 导数及其应用-证明不等式、恒成立问题（题型归纳）- 备战2023年高考数学题型猜想预测卷（浙江新高考专用）

猜题02 第22题 导数及其应用-证明不等式、恒成立问题（题型归纳） 目录：一、证明不等式；二、恒成立、存在性问题 1、 解答题 一、证明不等式 1．已知函数 ． (1)当a=0时，求函数 的最小值； (2)当 的图像在点 处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当 时， ． 2．已知 (1)当 时，求 单调区间； (2)当 时， 恒成立，求 的取值范围； (3)设 ， ，证明： ． 3．已知函数 ． (1)若 恒成立，求实数a的取值集合； (2)求证：对 ，都有 ． 4．已知函数 ， ． (1)求证： 存在唯一零点； (2)设 ，若存在 ，使得 ，求证： ． 5．已知函数 ． (1)若 在 上恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明： ． 6．已知函数 ， . (1)讨论函数 的单调性； (2)若函数 有三个零点 ， ， ，求证： . 7．已知函数 （e为自然对数的底数）. (1)若 在点 处的切线方程为 ，求a的值； (2)若 的最小值为1，求 在 上的最小值； (3)若 ，证明：当 时， . 8．已知函数 . (1)若方程 在区间 内有且仅有两个不同的实数解 . ①求实数a的取值范围； ②证明： . (2)设函数 的零点按从小到大的顺序依次为 ，极值点按从小到大的顺序依次为 ，证明： . 9．已知函数 . (1)求函数 在点 处的切线方程； (2)若 为方程 的两个不相等的实根，证明： （i） ； （ii） . 10．已知函数 ． (1)当 时，求 在 处的切线方程； (2)当 时， 恒成立，求 的取值范围； (3)证明：当 时， ． 11．已知函数 ． (1)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2)若直线 是函数 图象的切线，求 的最小值； (3)当 时，若 与 的图象有两个交点 ，证明： ． 12．已知 ，函数 ， (1)求 在 的切线方程； (2)若 在 恒成立，求 的取值范围； (3)若 与 有公共点， （ⅰ）当 时，求 的取值范围； （ⅱ）求证： . 13．已知函数 . (1)当 对，求函数 的最小值； (2)若 对 恒成立，求实数 取值集合； (3)求证：对 ，都有 14．已知函数 ， . (1)若 ，求 的单调区间； (2)若 不单调，且 . （i）证明： ； （ii）若 ，且 ，证明 . 15．已知函数 且 . (1)设 ，讨论 的单调性； (2)若 且 存在三个零点 . 1）求实数 的取值范围； 2）设 ，求证： . 16．已知函数 ，其中 ，函数 在 上的零点为 ，函数 . (1)证明： ① ; ②函数 有两个零点； (2)设 的两个零点为 ，证明： ． （参考数据： ） 17．已知函数 的定义域为（0，+∞）； (1)若 ； ①求曲线 在点（1，0）处的切线方程； ②求函数 的单调减区间和极小值； (2)若对任意 ，函数 在区间（a，b]上均无最小值，且对于任意 ，当 时，都有 ，求证：当 时， ； 18．已知函数 ， ． (1)当 时，求证： ． (2)令 ，若 的两个极值点分别为m，n（m<n）． ①当 时，求曲线 在 ， 处的切线方程（ 为 的导函数）； ②求证： ． 19．已知函数 ． (1)令 ，讨论 的单调性并求极值； (2)令 ，若 有两个零点； （i）求a的取值范围： （ii）若方程 有两个实根 ， ， ，证明： ． 二、恒成立、存在性问题 20．已知函数 ． (1)当 时，求函数 过点 的切线方程； (2)若 ，求证：函数 只有一个零点 ，且 ； (3)当 时，记函数 的零点为 ，若对任意 且 ，都有 ，求实数 的最大值． 21．已知函数 ． (1)若 ，试判断 的单调性，并证明你的结论； (2)若 恒成立． ①求 的取值范围： ②设 ， 表示不超过 的最大整数．求 ．（参考数据： ） 22．已知函数 ． (1)若 ，求函数 的单调区间； (2)若 ，且 在区间 上恒成立，求a的取值范围； (3)若 ，判断函数 的零点的个数． 23．已知函数 和 ， (1)求 在 处的切线方程； (2)若当 时， 恒成立，求 的取值范围； (3)若 与 有相同的最小值． ①求出 ； ②证明：存在实数 ，使得 和 共有三个不同的根 、 、 ，且 、 、 依次成等差数列． 24．已知函数 ， ， . (1)讨论函数 在区间 上的最大值； (2)确定k的所有可能取值，使得存在 ，对任意的 ，恒有 . 25．已知函数 ，其中 ． (1)求 的最大值； (2)若不等式 对于任意的 恒成立，求实数a的取值范围． 26．已知函数 ． (1)当 时，讨论 的单调性； (2)当 时， 恒成立，求a的取值范围． 27．已知函数 ， . (1)若 ，求 的单调区间. (2)若 ，且 在区间 上恒成立，