专题03 平面向量的综合应用（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题03 平面向量的综合应用 知识点1 平面向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量解决平面几何的两种经典方法及步骤： 线性运算法 （1）选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； （2）利用基底表示相关向量； （3）利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； （4）把计算结果“翻译”为几何问题。 坐标运算法 （1）建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； （2）把相关向量坐标化； （3）用向量的坐标运算找到相应关系； （4）利用向量关系回答几何问题。 3、平面几何中证明问题的具体转化方法 （1）证明线段，可转化为证明； （2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立； （3）证明两线段，只需证明数量积； （4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。 知识点2 平面向量最值范围问题的常用方法 1、定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论。 2、坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。 3、基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。 知识点3 极化恒等式 1、极化恒等式： （1）平行四边形模式：如下图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． （2）三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． 2、极化恒等式的作用和使用范围 （1）极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 （2）极化恒等式的适用范围： 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；不共起点和不共终点的数量积问题 可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 3、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 知识点4 三角形的四心 1、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 （1） （2） （3）若或，，则一定经过三角形的重心 （4）若或，，则一定经过三角形的重心 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 3、常用外心向量式：是的外心， （1） （2） （3）动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. （4）若，则是的外心. 4、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定过的垂心 （4）奔驰定理推论，. 知识点5 奔驰定理及其推论 1、奔驰定理：是内的一点，且，则 2、奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 考点1 证明平行与垂直 【例1】（2023春·全国·高一专题练习）在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【变式1-1】（2023春·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． （1）求重心E的坐标； （2）用向量法证明：． 【变式1-2】（2023·高一课时练习）在中，，分别为边上的点，且．求证：． 【变式1-3】（2020·高一课时练习）如图，在正方形中，为对角线上任意一点（异于、两点），，，垂足分别为、，连接、