第18讲 等腰三角形-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

中考数学一轮复习资料(全国通用版) 中考数学一轮复习资料五合一 《核心考点＋重点题型＋高分秘籍＋题组特训＋过关检测》 (全国通用版) 第18讲 等腰三角形 核心考点1：等腰三角形 1. 等腰三角形的定义 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一） 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°． 3．等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等． 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 核心考点2：等边三角形 1．等边三角形定义： 三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°． 3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 三角形是解决一切平面几何问题的基础，而等腰三角形、等边三角形是三种特殊的三角形，更是中考数学中的重中之重，对于特殊三角形的概念、性质、判定方法要熟练掌握。对于涉及这种特殊三角形的常考题型更要常练。 1——利用等腰三角形性质求角度 1．如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F．下列结论：①；②平分；③，其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得到，，推出即可判断②；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判断①；利用相似三角形的性质得到，再证明，即可判断③． 【详解】解：∵将以点为旋转中心逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 故选：D． 【反思】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，熟记各定理是解题的关键． 2——利用等腰三角形“三线合一”求长度 2．如图，在中，于点D，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据含的直角三角形性质得到，再根据等腰三角形三线合一的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【反思】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 3．如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过作于，根据折叠可知是等腰三角形，可证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过作于， ∵将沿折叠，使点落在矩形内点处，点为的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是中点，平分，且平分， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据题意，矩形中，，，点为的中点，即， ∴在中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【反思】本题中主要考查矩形，直角三角形，相似三角形的综合，理解矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 4．如图，在中，，，是上一点，连接．把沿翻折得到，且于点，且，连接，则点到的距离为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质及勾股定理可计算出、的长，根据等面积法可计算出的长，再由翻折的性质可得，在中，可计算出的长，即可得到的长，再在中应用等面积法即可得到答案． 【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，， ∴， 在中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ， ∴， 由翻折可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 在中， ， ， 解得：， ∴，， 设点到的距离为， ∵， ∴， 解得：， ∴点到的距离为2． 故选：C 【反思】本题主要考查的等腰三角形的性质，勾股定理，翻折的性质等知识点，熟练掌握相关只是说是解题的关键． 3——利用等边三角形的性质求角 5．如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，可得，根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：过点B作， ∵，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【反思】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．等边三角形三个角都是． 4