重难点05 二次函数综合问题-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）

2023年中考数学【热点·重点·难点】专练 重难点05 二次函数综合问题 二次函数综合问题，是上海中考题型中常考的压轴题型，尤其是在解答题中，作为压轴出现的频率很高；一般情况下，二次函数的综合问题的分值大概在15分左右，所考的知识面比较广，常和解直角三角形、勾股定理、几何图形的性质一起考查，需要考生有灵活的思维，通常也考查学生的计算能力，题型比较综合；从近几年的上海真题来看，二次函数的考查还是比较传统，主要有抛物线的解析式、抛物线的平移、抛物线的性质等等，另外还会考查一种经典题型，就是考查二次函数所形成的三角形的度数，来求出动点的坐标，需要根据近几年的中考题和模拟题加强训练. 【中考链接】 1．（2022·上海·统考中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 【答案】(1) (2)①k≥2 ②P的坐标为（2，3） 【分析】（1）把，代入，求解即可； （2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围； ②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴函数解析式为：； （2）解：①∵， ∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点， ∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ∴抛物线向右平移了m个单位， ∴， ∴m=2， ∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上， ∵在的右侧，两抛物线都上升， 又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上， ∴k≥2， ②把P（m，n）代入，得n=， ∴P（m， ） 根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3， ∴Q(0，m2-3)， ∵B（0，-3）， ∴BQ=m2，BP2=， PQ2=， ∴BP=PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|， ∵BP=PQ，PC⊥BQ， ∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°， ∴tan∠BPC= tan 60°=， 解得：m=±2（舍去负数）， ∴n==3， 故P的坐标为（2，3）. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 2．（2020·上海·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A． （1）求线段AB的长； （2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0． 【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论； （2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论． 【详解】（1）针对于直线y=﹣x+5， 令x=0，y=5， ∴B(0，5)， 令y=0，则﹣x+5=0， ∴x=10， ∴A(10，0)， ∴AB==5； （2）设点C(m，﹣m+5)． ∵B(0，5)， ∴BC==|m|． ∵BC=， ∴|m|=， ∴m=±2． ∵点C在线段AB上， ∴m=2， ∴C(2，4)， 将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得， ∴， ∴抛物线y=﹣x2+x； （3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0， ∴b=﹣10a， ∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a， ∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)， 将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=， ∵顶点D位于△AOB内， ∴0＜﹣25a＜， ∴﹣＜a＜0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，