微素养 专题突破三 巧解一次方程组-【精彩练习】2022-2023学年七年级下册初一数学教师用书配套word（浙教版2012）

　巧解一次方程组 【例1】 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题．解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法、加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②－①，得3x＋3y＝3，∴x＋y＝1，③ ③×14，得14x＋14y＝14，④ ①－④，得y＝2，从而得x＝－1. ∴原方程组的解是 (1)请运用上述方法解方程组 (2)请直接写出方程组的解是____． (3)猜测关于x，y的方程组(m≠n)的解是什么，并用方程组的解加以验证． 解：(1)②－①，得3x＋3y＝3， 所以x＋y＝1，③ ③×2 015，得2 015x＋2 015y＝2 015，④ ①－④，得y＝2， 把y＝2代入③，得x＝－1， 所以原方程组的解是 (3)方程组的解为 验证：当x＝－1，y＝2时，第一个方程：左边＝－m＋(m＋1)×2＝－m＋2m＋2＝m＋2＝右边． 第二个方程： 左边＝－n＋(n＋1)×2＝－n＋2n＋2＝n＋2＝右边， ∴是原方程组的解． 【例2】 阅读理解． 小聪在解方程组时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下： 解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5， 即2(2x＋5y)＋y＝5，③ 把方程①代入方程③，得2×3＋y＝5，解得y＝－1. 把y＝－1代入方程①，得x＝4， ∴方程组的解是 (1)仿照小聪的解法，解方程组 (2)已知x，y满足方程组 (ⅰ)求x2＋4y2的值． (ⅱ)求3xy的值． 解：(1)把方程②变形为3(3x－2y)＋2y＝19，③ 把①代入③，得15＋2y＝19， 解得y＝2. 把y＝2代入①，得x＝3， 则方程组的解为 (2)(ⅰ)由方程①得， 3(x2＋4y2)＝47＋2xy， 即x2＋4y2＝，③ 方程②整理得2(x2＋4y2)＋xy＝36，④ 将③代入④，得2×＋xy＝36， 解得xy＝2. 将xy＝2代入③，得x2＋4y2＝17. (ⅱ)由(ⅰ)知xy＝2，则3xy＝6. 【变式】 解方程组 解： 【例3】 解方程组 解：设＝a，＝b，则原方程组变成 解得 即 ∴原方程组的解为 【变式1】 解方程组 解：原方程组可变成 设x＋y－1＝a，x－y＋3＝b，可求得 进而求得 【变式2】 解方程组 解：令x＋y＝m，x－y＝n， 得 ②－①，得m＝10. 把m＝10代入①，得 ＝7－5＝2，n＝6， 即 ③＋④，得2x＝16，x＝8. 把x＝8代入③，得 y＝10－8＝2. 故原方程组的解为 【例4】 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题： 若关于x，y的方程组的解是求关于x，y的方程组的解． 解：∵ ∴由题意知 解得∴原方程组的解为 【变式】 如果关于x，y的二元一次方程组的解是求关于x，y的方程组的解． 解：∵二元一次方程组的解是 ∴解得 ∴所求方程组的解为 1．解方程组 解： 2．解下列方程组． (1) (2) 解：(1) (2) 3．请阅读下列材料，解答问题． 材料：解方程组若设x＋y＝m，x－y＝n，则原方程组可变形为 用加减消元法解得所以再解这个方程组得由此可以看出，在上述解方程组的过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫做换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 解：设x＋y＝m，x－y＝n， 则原方程组可变形为 用加减消元法，解得 ∴ 解得 ∴原方程组的解为 4．已知关于x，y的方程组的解是 (1)若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为则这个方程组的解是 (2)若把x换成2x，y换成3y，得到方程组则所以这个方程组的解是____． (3)根据以上的方法解方程组 解：(3)将方程组变形为 ∴ 解得∴方程组的解为 学科网（北京）股份有限公司 $