2023届北京市西城区高考一模数学试题

西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷 数 学 2023.3 本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）下列函数中，在区间上为增函数的是 （A） （B） （C） （D） （3）设，，，则 （A） （B） （C） （D） （4）在的展开式中，的系数为 （A） （B） （C） （D） （5）已知为所在平面内一点，，则 （A） （B） （C） （D） （6）函数是 （A）奇函数，且最小值为 （B）奇函数，且最大值为 （C）偶函数，且最小值为 （D）偶函数，且最大值为 （7）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的 一条渐近线为”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及 火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为 ，则下列各数中与最接近的是 （参考数据：） （A） （B） （C） （D） （9）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （10）名学生参加某次测试，测试由道题组成．若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）若复数，则____． （12）已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边 三角形，则____． （13）已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列 的前项和为，则____；的最小值为____． （14）设，其中．当时，____； 当时，的一个取值为____． （15）如图，在棱长为的正方体中，点,分别在线段和上． 给出下列四个结论： ① 的最小值为； ② 四面体的体积为； ③ 有且仅有一条直线与垂直； ④ 存在点,，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 如图，在中，，，平分交于点，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． （17）（本小题13分） 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）： 立定跳远单项等级 高三男生 高三女生 优秀 及以上 及以上 良好 ~ ~ 及格 ~ ~ 不及格 及以下 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）： 男生： 女生： 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率； （Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望； （Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明） （18）（本小题14分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题： （Ⅰ）求证：为的中点； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． （19）（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，证明：在上单调递增； （Ⅲ）判断与的大小关系，并加以证明． （20）（本小题15分） 已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点． （Ⅰ）当直线与轴垂直时，求直线的方程； （Ⅱ）求的取值范围． （21）（本小题15分） 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记． 设，且集合